Антагонистические игры

Игру с двумя участниками и нулевой суммой (если сумма выигрышей игроков равна 0) называют антагонистической. Антагонистические игры, т. е. игры, в которых выигрыш одного участника равен проигрышу другого, в силу простой постановки задачи являются наиболее изученным разделом теории игр.

Матричные игры

Удобным способом задания игры двух участников с нулевой суммой является платежная матрица. Каждый элемент платежной матрицы a_ig содержит числовое значение выигрыша игрока А (проигрыша игрока В), если первый применяет стратегию i, а второй — стратегию g. Сложность задачи прежде всего заключается в том, что каждый из игроков делает свой выбор, не зная о выборе другого, что существенно затрудняет процесс оптимизации выбираемой стратегии (табл.7).

Таблица 7

Пример матрицы

	В1	В2	Вg	Вn
А1	а11	а12	а1g	а1n
А2	а21	а22	а2g	а2n
Аi	аi1	аi2	аig	аin
Аm	аm1	аm2	аmg	аmn

 

Здесь А и B - игроки. Строка матрицы соответствует номеру стратегии, применяемой игроком A, столбец — номеру стратегии, применяемой игроком B. На пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока A, соответствующий применяемым им стратегиям. Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение.

Рассмотрим несколько методов (критериев) использования теории игр.

1) Критерий Вальда.
Данный критерий основывается на принципе максимального пессимизма, то есть на предположении, что произойдет наиболее худший вариант развития ситуации. При использовании критерия Вальда необходимо риск наихудшего варианта свести к минимуму.

Для применения критерия нужно для каждой альтернативы выбрать наихудший показатель риска (наибольшее число в каждой строке матрицы) и выбрать ту альтернативу, для которой этот показатель минимальный (табл.8):

F = min max {a_ig} (14)

Пример решения

В матрице (в этом и в следующих примерах) показаны значения рисков (в баллах) при разных ситуациях (В_i) при выборе разных вариантов управления (А_j).

Таблица 8

Матрица критерия Вальда

	В1	В2	В3	В4	В5	Mах aig
А1
А2
А3
А4

 

Нужно принять решение А₂, поскольку в этом варианте риск минимальный из максимальных.

 

2) Критерий максимального оптимизма
Наиболее простой критерий, основывающийся на идее, что ЛПР, имея возможность в некоторой степени управлять ситуацией, рассчитывает, что произойдет такое развитие ситуации, которое для него является наиболее выгодным. В соответствии с критерием принимается альтернатива, соответствующая наименьшему риску (элементу) матрицы (табл.9):

F = min min{a_ig} (15)

Таблица 9

Критерий максимального оптимизма

	В1	В2	В3	В4	В5	min
А1
А2
А3
А4

 

Нужно принять решение А₂, поскольку в этом варианте риск минимальный из минимальных.

 

Критерий Сэвиджа

Он основан на принципе минимизации потерь, связанных с тем, что игрок А принял не оптимальное решение. Для решения задачи составляется матрица, которая получается путем вычитания из минимального значения рисков в каждом столбца всех остальных элементов. Далее, для каждой альтернативы А_i определяются величины, равные наибольшему числу в каждой строке матрицы рисков и выбирается та альтернатива, для которой это значение минимально (табл.10):

F = min max {r_ig} (16)

Таблица 10

Матрица рисков

	В1	В2	В3	В4	В5	mахrij
А1
А2
А3
А4

Нужно принять решение А₂, поскольку в этом варианте отклонение риска от минимального минимальное из максимальных.

Критерий Лапласа

Он основан на предположении, что каждый вариант развития ситуации равновероятен. Поэтому для принятия решения необходимо рассчитать функцию F_i для каждой альтернативы:

F_i =1/m *Σ a_ig (17)

Выбирается та альтернатива, для которой функция Fi минимальна

F_опт = min F_i (18)

Для применения критерия Лапласа необходимо подсчитать функцию F_i для каждой альтернативы.

Количество альтернатив (стратегий игрока В) m =5, тогда 1 / m =0,20.

F₁ = 0,20*(12 + 11 + 8 + 9 + 6) =9,2 для стратегии А₁,

F₂ = 0,20*(9 + 6 +7 + 7 + 5) = 6,8 для стратегии А₂,

F₃ = 0,20*(9 + 7 + 11 + 7 + 8) = 8,4 для стратегии А₃,

F₄ = 0,20*(7 + 9 + 8 + 6 + 10) =8,0 для стратегии А₄.

Нужно принять решение А₂, поскольку в этом варианте значение функции F_i минимально.