Задача оптимального быстродействия с закрепленными концами

В силу особой распространенности задачи быстродействия сформулируем для нее отдельно необходимые условия оптимального управления.

Теорема 9. Для того, чтобы допустимое управление , , было решением задачи быстродействия

,

необходимо, чтобы выполнялись:

1) условие максимума ,

для некоторого нетривиального решения системы

2) условие для оптимального момента

Пример 1. Перевести точку из состояния на множество быстрейшим образом, предполагая, что движение точки подчиняется уравнениям причем . Начальный момент времени

Решение. Используем теорему 4. В нашем случае с

граничными условиями трансверсальности .

Условие максимума для некоторого нетривиального решения системы

Условие для оптимального момента Используем начальные условия . Решаем системы со знаком “+”, .

Пример 2. Пусть требуется минимизировать функционал

при условиях:

.

Решение. Строим функцию Гамильтона:

.

Условие максимума:

,

.

Следовательно: .

Решим это дифференциальное уравнение:

,

,

,

.

Воспользуемся граничными условиями для нахождения и :

Тогда траектория соответствующая оптимальному управлению примет вид:

,

.

Оптимальное управление: .

 

Задание к лабораторной работе №13.

 

Минимизировать функционалы

1. , .

,

2. , .

3. , .

4. , .

,

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

,

9. , .

10. ,

11. ,

,

12. , .

13. ,

14. , .

15. , .

,

16. , .

17. , .

18. , .

,

19. , .

20. , .

21. , .

 

22. , .

,

23. , .

24. , .

25. , .

,