Основная теорема зацепления

Основная теорема зацепления или теорема Виллиса формулируется следующим образом (рис. 4.2а). Общая нормаль к поверхностям двух вращающихся тел, проведенная в точке контакта отсекает от межцентрового расстояния отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям звеньев. То есть:

Доказательство. Пусть k – точка контакта, w – точка пересечения общей нормали n-n с линией межцентрового расстояния O₁O₂. Построим план скоростей v _К1 – скорость точки k, если считать её принадлежащей звену 1, v _К2 – скорость точки k, если считать её принадлежащей звену 2 (см. рис. 4.2а). Условием непрерывности контакта является равенство проекций этих скоростей на общую нормаль n-n: v _К1ⁿ = v _К2ⁿ.

Угловые скорости звеньев:

Из подобия треугольников: DO₁b₁k µ Dka₁С и DO₂b₂k µ Dka₂С:

(5.1)

Тогда отношение угловых скоростей:

Последнее равенство в соотношениях (4.1) следует из подобия треугольников: DO₁b₁W µ DO₂b₂W (см. рис. 4.2а). Теорема доказана.

Когда в процессе движения точка k проходит положение w, то в этот момент равны, не только нормальные, но и касательные составляющие скорости v_К1^t = v_К2^t, т.е. скорости полностью равны , поэтому точка w названа полюсом зацепления.

По определению, отношение угловых скоростей называется передаточным отношением:

Как правило, при проектировании зубчатых механизмов требуется постоянное передаточное отношение.

Следствия из основной теоремы зацепления. Для того чтобы передаточное отношение было постоянным необходимо, чтобы в процессе зацепления полюс зацепления не менял своего положения.

В свою очередь для того, чтобы полюс зацепления не менял своего положения необходимо, чтобы профили контактирующих поверхностей представляли собой взаимоогибаемые кривые.

В полной мере этому требованию удовлетворяют циклоиды (см. рис. 4.2 б), которые образуются при перекатывании без скольжения одной окружности по другой. И исторически первым правильным зацеплением было именно циклоидальное, т.е. такое, когда боковые поверхности зубьев представляют собой отрезки циклоид.

Однако у циклоидального зацепления есть недостаток – его сравнительно высокая стоимость. Причины этого рассматриваются позже в подразделе “ Методы изготовления зубчатых колес ”.

Требованию основной теоремы зацепления удовлетворяет и эвольвента окружности – кривая, образующаяся при перекатывании без скольжения прямой по окружности (см. рис. 4.2в). Изготовление колес с эвольвентным профилем зубьев оказалось гораздо более дешевым, и, несмотря на то, что такие колеса имеют несколько большие размеры, – эвольвентное зацепление в машиностроении получило самое широкое применение. В дальнейшем рассматривается именно этот вид зацепления.