Дифференциальное исчисление функции одной переменнойПонятие производной Рассмотрим задачу, которая приводит к понятию производной. Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t0. За период от t0 до t0+∆ t количество продукции изменится от u(t0) до u0+∆ u = u(t0+∆ t). Тогда средняя производительность труда за этот период z = ∆ u/∆ t, поэтому производительность труда в момент t0 z = lim∆ t → 0∆ u/ ∆ t. Определение 1 (производная). Производной функции y = f(x) в фиксированной точке x называется предел lim∆ x → 0∆ y/ ∆ x при условии существования этого предела. Производная обозначается следующим образом f'(x) или y'. Пример 1. Вычислить производную функции y = sin x. Найдем приращение функции: ∆ y = sin(x+ ∆ x)-sin x = 2sin(∆ x/ 2) cos (x+ ∆ x/ 2). По определению производной (sin x) ' = lim∆ x → 0∆ y/ ∆ x = lim∆ x → 0 (cos (x+ ∆ x/ 2)(sin ∆ x/ 2) / (∆ x/ 2)) = cos x, так как lim∆ x → 0cos (x+ ∆ x/ 2) = cos x. Таким образом, (sin x) ' = cos x. Определение 2. Правой (левой) производной называется правый (левый) предел lim∆ x → 0+0∆ y/ ∆ x lim∆ x → 0-0∆ y/ ∆ x, если эти пределы существуют. Для обозначения правой (левой) производной используют символ: f'(x+0) (f'(x-0)). Необходимым и достаточным условием существования производной является равенство f'(x+0) = f'(x-0). Пример 2. Доказать, что f(x) = 3|x|+1 не имеет производной в точке x = 0. Составим ∆ y = 3(0+∆ x)+1-1=3∆ x при ∆ x>0. При ∆ x<0 ∆ y = -3(0+∆ x)+1-1=-3∆ x, значит, lim∆ x → 0-0∆ y/ ∆ x =- 3, lim∆ x → 0+0∆ y/ ∆ x x = 3. Поэтому данная функция не имеет производной в точке x = 0.
|
