Похибки табличних величин

 

1. Похибка табличної величини визначається за формулою

, (1.17)

де a - довірча ймовірність; ν; - половина ціни розряду останньої залишеної цифри табличної величини. Наприклад: величина π; дорівнює 3,14. В цьому випадку ν; = 0,005 і

.

Якщо величина π дорівнює 3,141 і ν = 0,0005, то

.

2. При користуванні вимірювальними приладами виникають похибки відліку. Типово, похибка відліку дорівнює половині ціни поділки шкали приладу. Наприклад: лінійка має похибку відліку ν = 0,5 мм.

 

1.4 Правила округлення і виконання наближених обчислень

 

Точність обчислень завжди повинна відповідати точності вимірів. Зайва арифметична точність обчислень не позитивна якість, а недолік в роботі. Наприклад, якщо середнє арифметич­не значення товщини пластинки після розрахунку було взято рі­вним 2,2543 мм при абсолютній похибці вимірів 0,03 мм, то при цьому показане лише невміння виконувати арифметичні дії з на­ближеними числами. Щоб не витрачати даремно часу для одер­жання сумнівної арифметичної точності, необхідно всі отримані величини перед підстановкою в формули округляти, залишаючи в них на одну значущу цифру більше, ніжу самої з наближених величин (з найменшим числом знаків). При округленні набли­женого числа необхідно відкидати останні цифри, якщо перша з цифр, що відкидаються, менша 5, і додавати одиницю до попе­редньої цифри, якщо перша з цифр, що відкидаються, 5 або бі­льше.

За написаним числом, що виражає результат виміру або об­числення, можна говорити про ступінь точності.

Значущі цифри – це усі цифри, крім нулів, що стоять перед числом, і нулів, поставлених наприкінці записаного результату замість відкинутих цифр при округленні.

Десяткові таки числа – це усі цифри, розміщені праворуч від коми. Наприклад, число 25,002 має п'ять значущих цифр, а десяткових знаків три; число 0,0034 має дві значущі цифри, але чотири десяткових знаки.

Якщо обчислення за наближеними даними проводяться у декілька дій, то в проміжних діях треба зберігати на одну значу­щу цифру більше в порівнянні з точністю визначуваних величин у даному досліді (тобто дві сумнівні цифри). У всіх арифметичних діях над наближеними числами в ос­таточному результаті треба уберігати стільки десяткових знаків, скільки їх мають наближені дані з найменшим числом десяткових знаків.

Округлення чисел у процесі обчислення призводить до систематичної похибки. Відносна похибка, яку знаходять в результаті обчислень, має бути приблизно на порядок (тобто у 10 разів) менша за похибку результату непрямих вимірювань.

У записі результату вимірювань залишають одну (максимум дві) сумнівні цифри. Похибку вимірювань округляють до однієї значущої цифри, якщо ця цифра не «1». Якщо ж ця цифра «1», то у похибці залишають дві значущі цифри, в записі результату вимірювань – дві сумнівні цифри. Сумнівними називаються значущі цифри в записі результату вимірювань, десяткові розряди яких збігаються з десятковими розрядами значущих цифр у записі похибки цього результату.

Розряди останніх цифр Δx і x мусять співпадати. Для цього округляють x або приписують до нього невистачаючі нулі справа. Е округляють по тим же правилам, що і Δx. Спочатку округляють Δx, Δx=0,3 мм. Розряд останньої цифри Δx - десяті долі, а – соті долі. Округляємо до десятих долів. Маємо = 73,6 мм.

Знаходимо Е:

Кінцевий результат x = 173,6 ± 0,3 мм, α = 0,7, Е = 0,4 %

 

1.5 Похибки прямих вимірювань

 

Похибки прямих вимірювань визначаються за формулою

, n = 1, (1.18)

якщо деяку величину виміряти один раз.

Якщо вимірювання виконувались n раз, то

, n > 1. (1.19)

В цих рівняннях t_∞ - коефіцієнт Стьюдента для заданого a при необмеженому числі вимірів; d - похибка приладу; ν; - похибка відліку, .

Наприклад: довжина тіла була виміряна 3 рази:

 

n	х, мм	∆хi, мм	(Δхi)²
	12,8	0,446	0,217
	13,6	0,334	0,111
	13,4	0,134	0,018
=13,2	∑(Δхi)²=0,3

 

Відносна похибка дорівнює

.

Кінцевий результат: x = (13,3 ± 0,3) мм; α = 0,7; Е = 3,6 %.

 

1.6 Похибки непрямих вимірювань

 

Якщо y - величина, що вимірюється посередньо, її розраховують за відомою залежністю y=f(x₁,x₂,…x_n) від змінних x₁,x₂,,…x_n, які вимірюють безпосередньо.

1. Похибки непрямих вимірів визначаються за формулою:

, (1.20)

якщо функціональна залежність досліджуваної величини є багаточлен.

2. Похибки непрямих вимірів можна визначати

, (1.21)

.

якщо функціональна залежність досліджуваної величини є одночлен і потім знаходимо Dy як: . Наприклад:

1. Якщо залежність функції , тоді

Тоді

.

2. Якщо залежність функції: ,

Тоді

,

.

У результаті отримуємо

.

 

1.7 Графічне відображення експериментальних результатів

 

Графік будується на міліметровому папері. На рисунках нижче можна побачити приклади графіків.

 

невірно вірно

 

 

Експериментальна крива проходить крізь експериментальні точки.

Контрольні запитання

 

1. Дати визначення прямих і непрямих вимірів. Приклади.

2. За допомогою якої формули знаходять найбільш ймовірне значення виміряної величини?

3. Що таке відносна похибка?

4. Що називається випадковим відхиленням?

5. За якою формулою знаходять середнє квадратичне значення або похибку, викликану випадковими відхиленнями?

6. За якою формулою знаходять похибки засобів виміру.

7. За якою формулою знаходять похибки табличних величин та відліку.

8. Сформулюйте правила округлення.

9. Запишіть формули обчислення похибок при прямих вимірах.

10. Запишіть формули обчислення похибок при непрямих вимірах.

 

Доповнення і редагування:

доцент кафедри фізики, канд. фіз.-матем. наук В. Г. Корніч;

професор кафедри фізики, д-р. фіз.-матем. наук С. В. Лоскутов.

 

Затверджено на засіданні кафедри фізики ЗНТУ, протокол № 3 від 01.12.2008 р.

 

2 ELEMENTS OF THE THEORY OF ERRORS

 

Measurement of physical quantities means their comparison with standard. There are two types of physical measurements:

1. Direct measurements are measurements when the investigated quantity x is taken by direct comparison with the standard performed with instruments.

2. Indirect measurements consist of direct measurements of physical quantities x₁, x₂,.., x_n and calculations made on this basis the investigated quantity y by a functional dependency y = f(x_1, x₂,...,x_n).

For example: measurements of length by a ruler or measurements of temperature with a thermometer are direct measurements. But measurement of volume of a cylinder by the value of its height h and diameter d (these are direct measurements) with functional relation V=pd²h/4 is an indirect measurement.

All measurements can be performed only up to a certain degree of precision. Error of measurements is defined as a deviation of the result of measurements from the true value of a measured quantity.

Then, by definition

,

where Dx is absolute error of x measures.

The problems of the Theory of Errors are:

1. To get the investigated quantity.

2. To get the error of measurements.

There are two kinds of measurements errors: systematic errors and accidental ones.

Systematic error is defined as a component of error; its quantity is constant in all measurements or is being regularly changed during the repeated measurements of the physical quantity.

Accidental error is defined as a component of error that is changed irregularly during repeated measurements of the same physical quantity.

One should distinguish between blunder and above mentioned errors. Its value is essentially greater than the expected error in given conditions. For example, these errors may be received if an instrument is faulty, or if an experimenter is inattentive and so on.