Выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика функции. Исследование функции на перегиб.Практическая работа № 19 Нахождение точек перегиба, интервалов выпуклости и вогнутости Цель работы:проверить умения и знания по нахождению интервалов выпуклости и вогнутости, точек перегиба. Теоретический материал. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика функции. Исследование функции на перегиб.
Кривая называется выпуклой в точке , если в некоторой окрестности этой точки она расположена под своей касательной в точке Кривая называется вогнутой в точке , если в некоторой окрестности этой точки она расположена над своей касательной в точке Точка, в которой меняется направление выпуклости и вогнутости, называется точкой перегиба. Промежутки, в которых график функции выпуклый или вогнутый, называются промежутками выпуклости. Выпуклость характеризуется знаком второй производной: Теорема: Если вторая производная функции в данном промежутке положительна, то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательна – выпукла в этом промежутке. Алгоритм нахождения интервалов выпуклости:
Если в некотором промежутке вторая производная положительна, то функция на нем вогнута, если – отрицательна, то выпукла Пример 1: Найти промежутки выпуклости кривой Решение:
Пример 2. Найти точки перегиба кривой Решение:
. Точка перегиба Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
1. D(y)= 2.E(y)= 3. - функция нечетная, график симметричен относительно начала координат, непериодичная 4. 5. - вертикальные асимптоты Найдем наклонные асимптоты.
- уравнение наклонной асимптоты.
6.
Критические точки:
Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.
-¥ < x < - , y¢ > 0, функция возрастает - < x < -1, y¢ < 0, функция убывает -1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает 0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < , y¢ < 0, функция убывает < x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает
7. .
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая - < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая -1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая 0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая < x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая
Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3 /2 и -3 /2.
|