ПРИМЕЧАНИЕ. Можно было для импульсов выбрать другую, не обязательно прямоугольную, форму

Можно было для импульсов выбрать другую, не обязательно прямоугольную, форму. Это не принципиально. Важно, чтобы последовательное уменьшение длительности таких импульсов приводило в результате к «появлению» на входе данной цепи импульсной функции, в том смысле, что порожденный ею отклик допустимо считать импульсной характеристикой.

Импульсная характеристика k(t), по сути, представляет собой собственные (свободные) колебания токов и напряжений в цепи, которые возникают под воздействием энергии, доставленной в цепь коротким импульсом. Если цепь пассивна и обладает диссипативными потерями, то свободное колебание с течением времени затухает и цепь постепенно приходит к равновесному состоянию. Отсюда следует, что k(t) —» 0 при t —> со. Исходя из этого, можно «модернизировать» методику измерения импульсной характеристики — выбрать в качестве источника энергии генератор периодической последовательности импульсов с регулируемыми параметрами (длительностью и амплитудой), а для наблюдения реакции цепи воспользоваться осциллографом. Период последовательности импульсов следует задать настолько большим, чтобы до появления каждого следующего импульса токи и напряжения в цепи практически возвращались в исходное (невозмущенное) состояние. Уменьшая длительность импульсов при одновременном увеличении их амплитуды, можно по эволюции осциллограмм выявить, при каких параметрах входного импульса на экране осциллографа начинает отображаться импульсная характеристика (рис. 3.10).

Итак, импульсная характеристика цепи понимается как предел, к которому стремится отклик цепи на входной импульс единичной площади, когда длительность импульса стремится к нулю. Можно указать электрические схемы, для которых такой предел не существует, и приходится констатировать, что импульсная характеристика для них не существует. Заметим, что о подобной ситуации уже шла речь ранее при рассмотрении переходной характеристики, здесь добавим, что схемы, для которых импульсные характеристики отсутствуют, встречаются чаще.

Эту формулу наряду с более общим соотношением:

Для математического описания импульсной характеристики используют понятие дельта-функции, или 8-функции. Ее обозначают как Щ). Дельта-функцию вводят для представления явления, воздействия, эффекта, сосредоточенного в пределах исчезающе малой площади, воспринимаемой как точка. Примеры: точечный заряд, точечная силовая нагрузка, точка сфокусированного света и т. п. Резонно и в теории колебаний воспользоваться 8-функцией для описания кратковременного воздействия на систему (цепь), столь кратковременного, что его длительность оказывается несущественной по сравнению с временем реакции системы. Понятно, что та совокупность узких импульсов, о которой шла речь при разъяснении сути импульсной характеристики, приводит в предельном смысле к восприятию импульсной функции как 8-функции. Поэтому символ 8(t) допустимо воспринимать как обозначение импульсной функции 5_Т(£), длительность которой столь мала, что для всех непрерывных функций f{i) справедливо равенство:

принято считать определением 8-функции.

Итак, при теоретическом описании импульсную характеристику рассматривают как отклик цепи при действии на ее входе источника ЭДС или тока в виде 8-функции.

Связь переходной и импульсной характеристик

Поскольку переходная и импульсная характеристики — проявление эффектов одной природы, должна существовать определенная связь между ними. В частности, рассматривая пример, иллюстрируемый рис. 3.7, можно заметить, что при последовательном сокращении длительности импульса, а значит, и интервала между ступенчатыми перепадами постепенно придем к ситуации, когда входное воздействие допустимо интерпретировать, как импульсную функцию. Так будет при условии, что уменьшение длительности входного импульса сопровождается одновременным увеличением его амплитуды (чтобы площадь входного импульса оставалась неизменной). Отсюда следует, что импульсную характеристику можно получить, вычисляя предел:

Напрашиваются выводы: импульсную характеристику можно найти, вычисляя производную переходной характеристики, а переходная характеристика получится при взятии интеграла от импульсной характеристики. Так оно, по сути, и есть. Позднее данное заключение будет обосновано строго, а сейчас без доказательства примем к сведению формулы, связывающие обе характеристики:

ПРИМЕЧАНИЕ

Если переходная характеристика не является дифференцируемой функцией, импульсная характеристика для данной цепи не существует. Отсюда вытекает объяснение того факта, что схемы, для которых импульсные характеристики отсутствуют, встречаются чаще схем, которым нельзя сопоставить переходную характеристику.

Воспользовавшись формулой, связывающей импульсную и переходную характеристики, можно привести интеграл Дюамеля (3.1) к следующим «равноправным» формам:

Эти выражения называют интегралом суперпозиции. Интеграл суперпозиции позволяет находить отклик цепи на произвольное входное воздействие, если цепь описана импульсной характеристикой.