Базис и размерность ЛП решений ОСЛАУ

В этом пункте укажем базисы и размерности наиболее часто встречающихся линейных пространств, введенных в пункте 2. Для каждого конечномерного линейного пространства обычно определяют так называемый элементарный (стандартный) базис (наиболее простой и удобный при решении задач). Также дадим критерии проверки того, при каком условии заданная система векторов является базисом линейного пространства.

1) Линейное пространство . Элементарным базисом в является упорядоченная система -мерных вектор-столбцов

, ,

где все компоненты вектор-столбца () равны нулю, кроме одной, которая равна единице и располагается в позиции, указываемой номером в его обозначении. Таким образом, .

Нетрудно доказать, что упорядоченная система -мерных вектор-столбцов

, (1.11)

где (), является базисом пространства тогда и только тогда, когда квадратная -матрица

,

столбцами которой являются векторы (), является неособенной матрицей.

При этом если задан вектор-столбец , то для нахождения координатного вектор-столбца в базисе (1.11) достаточно решить систему линейных алгебраических уравнений

,

которая в силу неособенности матрицы , имеет единственное решение.

2) Линейное пространство . Элементарным базисом в является упорядоченная система матриц

,

где все элементы матрицы () равны нулю, кроме одного, который равен единице и располагается в позиции, указываемой двумя номерами в обозначении. Таким образом, .

Нетрудно доказать, что упорядоченная система матриц

, (1.12)

где (), является базисом в тогда и только тогда, когда матрица

,

столбцами которой являются вектор-столбцы

(),

является неособенной квадратной матрицей.

При этом если задана матрица (), то для нахождения координатного вектор-столбца этой матрицы в базисе (1.12) достаточно решить систему линейных алгебраических уравнений

,

где , которая в силу неособенности матрицы , имеет единственное решение.

3) Линейное пространство

.

Известно (см. п. 2), что если , то система уравнений

имеет ровно линейно независимых решений, образующих фундаментальную систему решений (ФСР):

, (1.13)

где .

При этом любое решение можно выразить в виде

,

где коэффициенты определяются однозначно. При этом координатный вектор-столбец вектора имеет вид . Таким образом, система (1.13) является базисом в пространстве и .

Пример 1.2. Найти базис и размерность пространства решений системы

Решение. Приводим матрицу системы к ступенчатому виду

.

Ранг матрицы . Принимая переменные за базисные, а за свободные (обозначаем при этом ), получим общее решение рассматриваемой ОСЛАУ

Составляем базис пространства решений (фундаментальную систему решений, при этом ):

.