Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

 

6.1. Общие понятия

Определение 1: Дифференциальное уравнение 2-ого порядка вида

, (1)

где и данные на функции называется линейным ДУ 2-ого порядка (ЛНДУ).

 

Определение 2: Линейное ДУ 2-ого порядка

, (2)

где данные действительные постоянные числа, а известная непрерывная на интервале функция, называется линейным ДУ с постоянными коэффициентами.

Определение 3: Если в ДУ (2) на , то уравнение

 

(3)

 

называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянным коэффициентами.

 

. Однородное линейное ДУ(3), левая часть которого

такая же, как в неоднородном линейном ДУ (2),

называется соответствующим ему однородным

уравнением.

Определение 4:функции называются линейно независимыми на интервале I,если .в противном случае функции линейно независимые.

Определение 5: Совокупность двух линейно независимых решений ДУ называется фундаментальной системой решений данного уравнения.

 

Теорема 6.1.(о структуре общего решения ЛОДУ):

 

Пусть -фундаментальная система решений ДУ, тогда общее решение этого уравнения имеет вид

где С₁,С₂– произвольные постоянные.

 

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение ЛНДУ с постоянными коэффициентами (2). Имеет место теорема о структуре его общего решения:

 

Теорема 6.2. (о структуре общего решения ЛНДУ):

Общее решение y ЛНДУ (2) есть сумма общего решения y ₀ соответствующего однородного уравнения ЛОДУ и любого частного решения неоднородного уравнения:

 

Таким образом, чтобы найти общее решение ЛНДУ, нужно найти общее решение соответствующего ЛОДУ и какое-нибудь частное решение ЛНДУ. В общем случае задача отыскания частного решения является сложной.

Частное решение ЛНДУ можно найти методом вариации произвольных постоянных или методом подбора (метод неопределенных коэффициентов).