Теорема Бернулли

Теорема Бернулли является одной из первых форм закона больших чисел. Она устанавливает связь между частотой события и его вероятностью.

Теорема Бернулли. При неограниченном увеличении числа независимых опытов в постоянных условиях частота рассматриваемого события A сходится по вероятности к его вероятности p в отдельном опыте.

Обозначим частоту события A через , т.е. , тогда теорему Бернулли можно записать в виде:

. (5.14)

Доказательство. Обозначим через число появлений события A в i -м опыте. Величины независимые случайные величины, имеющие одинаковые ряды распределения:

		, 1
p	p	q

где q= 1– p. Каждая из величин есть дискретная случайная величина с двумя возможными значениями 0 и 1.

Следовательно, для каждой величины :

;

.

Частота появления A в n опытах равна – среднему арифметическому наблюдаемых значений.

Можно применить теорему Чебышева, так как случайные величины X_i попарно независимы (опыты независимые), математические ожидания равны, дисперсии ограничены (можно доказать, что pq<;1/4).

По теореме Чебышева получим

,

что и требовалось доказать.

Обобщением теоремы Бернулли на случай, когда опыты происходят при неодинаковых условиях, является теорема Пуассона.

Теорема Пуассона. При неограниченном увеличении числа опытов в переменных условиях частота события сходится по вероятности к средним арифметическим его вероятностей , т.е.

, (5.15)

где – среднее арифметическое вероятностей.

Доказательство. Пусть случайные величины X_i – число появлений события A в i- м испытании . Случайные величины X_i имеют неодинаковые ряды распределения:

			, где .
p

Следовательно, для каждой случайной величины :

; .

Обозначим частоту события A через , т.е.

,

тогда

;

.

Можно применить обобщенную теорему Чебышева, так как при , т.е.

.

Теорема доказана.