Аппроксимация кривых относительных фазовых проницаемостей.

Приведенные экспериментальные зависимости относительных проницаемостей должны бы были быть построены для каждого месторождения. Однако в первом приближении они могут быть получены аналитически путем аппроксимации типичных, но несколько идеализированных фазовых диаграмм(рис.1.5.5.).

 

Рис. 1.5.5. «Идеализированные» двухфазные диаграммы

Система «жидкость - жидкость»

Рассмотрим пористую среду, в которой находятся две несмешивающиеся жидкости (фазы) - нефть и вода. При небольшой насыщенности какой-либо фазой соответствующая жидкость находится в пористой среде в связанном состоянии в виде отдельных капель. При этом она остается неподвижной до определенного значения насыщенности (левая диаграмма на рис. 1.5.5.).

При достижении насыщенности некоторого критического значения (S_* ) вода плавно приобретает подвижность, и значение относительной проницаемости растет от 0 до 1. Аналогичным образом ведет себя кривая для нефти.

Как видно из графика кривые для системы нефть – вода могут быть аппроксимированы полиномом второй степени. Пусть для воды:

, (1.5.1)

в котором коэффициенты следует найти из граничных условий.

В соответствии с введенными предположениями эти условия имеют следующий вид:

при

при (1.5.2)

- в силу плавности сопряжения

Подставляя условия (5.2) в уравнение (5.1), получим для коэффициентов:

(1.5.4)

 

Далее, решая систему уравнений (1.5.4), определим коэффициенты :

В результате получим:

, .

С учетом найденных полином примет следующий вид

.

 

Таким образом, аппроксимация кривой относительной фазовой проницаемости для воды дает следующую аналитическую зависимость:

 

(1.5.5)

Аналогично для нефти:

(1.5.6)

при , , и зависимости .

Система «жидкость - газ»

При выводе аналитической зависимости относительной фазовой проницаемости для газа от водонасыщенности необходимо учитывать описанную выше особенность: в диапазоне изменения насыщенностей до некоторой критической (S_* ) относительная фазовая проницаемость для газа остается равной примерно единице. Поэтому для аппроксимации кривой относительной фазовой проницаемости для газа следует задаваться полиномом третьей степени:

(1.5.7.)

и условиями:

(1.5.8.)

 

Решая получаемую в результате подстановки условий (1.5.8) в уравнение (1.5.7) ситему, получим:

 

. (1.5.9)

Полученные аппроксимационные зависимости для кривых относительных фазовых проницаемостей имеют довольно приближенный и весьма общий характер. Реально используемые в практике разработки нефтяных месторождений кривые являются полуэмпирическими и учитывают физические свойства и особенности конкретных пластов. Качественно они вполне идентичны полученным. Тем не менее, количественно они отличаются от полученных аналитических зависимостей, как правило, числовыми значениями показателей степеней и вводом дополнительных коэффициентов.