Построение интервальных вариационных рядов

 

Задача 2. Источник статистической информации – результаты мониторинга, проведенного самим исследователем состояния основных фондов (капитала) в млн. руб. выбранных для исследования малых предприятий (МП) города в рамках выполнения хоздоговорного заказа со стороны Совета министров РТ. В результате наблюдений составлена таблица исходных статистических данных в виде однородной совокупности, приведенной в табл. 3.

Таблица 3

Исходная статистическая совокупность по непрерывному

признаку (размер ОФ выбранных для исследования МП города)

 

9.4 8.0 6.3 10.0 15.0 8.2 7.3 9.2 5.8 8.7

5.2 13.2 8.1 7.5 11.8 14.6 8.5 7.8 10.5 6.0

5.1 6.8 8.3 7.7 7.9 9.0 10.1 8.0 12.0 14.0

8.2 9.8 13.5 12.4 5.5 7.9 9.2 10.8 12.1 12.4

12.9 12.6 6.7 9.7 8.3 10.8 15.0 7.0 13.0 9.5

 

Здесь, как и в предыдущей задаче, мы хотим отобразить исходное множество Y в более компактное множество Х – произвести ту же операцию вида (1). Для этого необходимо сделать кое-что из того, что было раньше – еще с дискретными СС, - но и кое-что еще доплнительно. Оно и понятно: там, в случае формирования СС по дискретному признаку, имеем дело с четко фиксированными значениями. Они, эти значения, могут повторяться, но их градация известна: в задаче №1 – исходных значений целых 50, а вся информация «зашифрована» всего-лишь пятью значениями в виде разрядов 2, 3 4 5 и 6-го. Потом подсчитали, как часто эти разряды себя проявили в общей совокупности - и все. Дискретный вариационный ряд построен. Структура исходной статистической совокупности выявлена: средних разрядов (3,4) больше, слишком малых и слишком больших (2, 5 и 6) – меньше. Это с одной стороны. С другой стороны, сама последовательность построения ВР как наследует все свои этапы, так и предусматривает новые, дополнительные.

Итак, исходная информация в виде СС представлена в табл. 3.Для нас – это СС, то есть множество значений с именем Y.

1) Сначала необходимо найти максимальное и минимальное значение среди элементов исходной статистической совокупности: y_max = 15,0 млн. руб., y_min = 5,1 млн. руб. Тогда размах выборки R = y_max - y_min = 15,0 – 5,1 = 9,9 (млн. руб.). Значит все значения элементов множества Y расположены в данном диапазоне, который необходимо разделить на необходимое количество интервалов, что и составляет сущность формирования вариантов будущего ВР.

2) Определение приблизительного числа интервалов (вариантов ВР):

 

n = 1 + 3,22 ∙ lg N = 1 + 3,22 ∙ lg 50 = 1 + 3,22 ∙ 1,69 ≈ 6,44 ≈ 6 (интервалов)

 

Для построения ВР примем решение ограничить число интервалов пятью интервалами (n=5).

3) Оценим величину шага h, разделив размах выборки на число шагов: h = R / n = 9,9 млн. руб. / 5 = 1,98 млн. руб. Это при условии, что формировать интервалы (варианты интервального ВР) начнем с минимального значения 5,1 млн. руб. Возможен более удобный вариант, если начнем формировать интервалы не с минимального значения 5,1 млн. руб, а со значения 5,0 млн. руб. Тогда R = 15,0 – 5,0 = 10,0 (млн. руб.) и h = R / n = 10.0 млн. руб./ 5 = 2 млн. руб.

Итак, в качестве нижней границы мы принимаем значение 5,0 млн. руб. вместо 5,1 млн. руб., тогда величина интервала будет равна 2 млн. руб. Так удобнее для счета, да и значение одного из элементов 5,1 млн. руб. не теряется: оно будет принадлежать первому интервалу от 5 + 2 = 7 млн. руб.

4) Заполняем рабочую таблицу (см. табл. 4) – будущий интервальный ВР с постоянным шагом. Также введем дополнительно по отношению к табл. 2 дискретного вариационного ряда дополнительную графу для фиксирования середин сформированных интервалов.

Замечание. При такой записи непрерывного признака, когда одна и та же величина встречается дважды (как верхняя граница одного интервала и как нижняя граница другого интервала), единица исходной СС (из табл. 3), обладающая этим значением, относят к той группе, где эта величина выступает в роли верхней границы.

5) Определяем номер модального интервала и значение модальной (максимальной) частоты f_m. Модальным интервалом будет тот, которому принадлежит наибольшее число попаданий исследуемой случайной величины (размер капитала того или иного обследованного МП города). В нашем случае в качестве модального будет выступать второй интервал, частота попаданий в котором максимальная. Следовательно f_m = f₂, модальный интервал имеет номер i=2.

 

Таблица 4

Интервальный вариационный ряд. Результаты отображения вида (1)

Номера интервалов	Начало – конец интервалов	Среднее интервальное значение	Частота попаданий в интервалы	Значение частоты	Значения накопленной частоты
I	xiн - xiв	xiср	счет	fi	qi
5 = n	5 - 7 7 - 9 9 - 11 11 - 13 13 - 15		///////// //////////////// /////////// //////// //////
	∑fi = 50

 

Интервальный вариационный ряд с постоянным шагом построен: исходная СС в виде множества Y, представленное данными табл. 3, отображено в более компактное множество Х в виде табл. 4. Это и есть искомый интервальный ВР с постоянным шагом. Визуализируем его в виде двух графиков, один из которых построим в координатах (х, f) – гистограмму (см. рис. 1), а дрй цели угой в координатах (х, q) – кумуляту (см. рис. 2).

Сначала построим гистограмму. Студентам рекомендуется при этом использовать место в конспектах так, чтобы его максимально использовать. Для этого необходимо определиться с ценой деления (графики при этом рекомендуется делать без линейки, от руки). Так, в случае построения гистограммы по горизонтальной оси абцисс следует сделать так, чтобы весь график со всеми вариантами уместился от 5 до 15-ти (млн. руб.), тогда как для отображения частоты попадания в тот или иной вариант на вертикальтной оси ординат достаточно ограничиться числом 15; чуть выше – и 16 будет (см. пятую графу табл. 4).

Значение наиболее часто встречающегося значения в исходной СС, то есть мода М_о, графо-аналитически путем графически в координатах (х, f) определяется так, как это показано на рис. 1 сплошными линиями внутри столбика гистограммы, принадлежащему модальному интервалу (перпендикуляр к оси абцисс строится из пересечения прямых). Здесь мода получается равной где-то 8,0 млн. руб. (как на графике), а на самом деле она должна быть где-то между 8,1 – 8,3 млн. руб. (с учетом специфики рисования графиков в windows).

 

Частоты fi

 

 

 

	Варианты (интервалы) хi

 

 

М_о ≈ 8

5 7 9 11 13 15

 

Рис. 1. Гистограмма, отражающая зависимость частот от вариантов

 

Значение медианы также можно определить графо-аналитическим путем по графику кумуляты в координатах (х, q) – см. рис. 2. График накопленных частот строится так. В начале первого интервала [5 – 7] еще не накоплено ничего (в точке 5 млн. руб. на оси абцисс должен быть нуль), зато к концу первого интервала накопилось 9 попаданий случайной величины – объемов ОФ попавших в этот интервал МП и т.д.

 

 

 

 

40

 

 

Варианты (интервалы) хi

20

 

 

 

M_е ≈ 9

5 7 9 11 13 15

Рис. 2. Кумулята, отражающая зависимость накопленных частот от вариантов

 

Поскольку из определения медианы следует, что она делит исходную совокупность на две равные части, разделим всю сумму частот ∑ f_i. Пополам и получим: (∑ f_i./ 2) = 50 / 2 = 25 (штук, величина безразмерная). Затем – спроецируем это значение на график кумуляты (по стрелке, параллельной оси абцисс, с точки пересечения проекции и кумуляты опустим к горизонтальной оси перпендикуляр) – и получим приближенное значение медианы так, как это показано на рис. 2.

Таким образом, графо-аналитическим путем были определены приближенные значения новых структурных средних построенного нами вариационного ряда, значение которых может быть уточнено строго аналитическим способом по формулам (5) и (6) - соответственно. Начало модального интервала = 7, размер шага = 2, модальная частота f_m= 16. Тогда частота интервала, предшествующему модальному, f_{m- 1} = 9, а частота, последующего за модальным интервалом f_m+1 = 11, q_m-1 = 9, как и следует из табл. 4.

 

 

f_m - f_{m - 1}

М_о = x_m^н + h ∙————————————. (5)

(f_m - f_{m – 1}) + (f_m - f_{m + 1})

 

По формуле (5) получим:

 

16 - 9

М_о = 7 + 2 ∙ ————————— = 8,16 ≈ 8,2 (млн. руб.).

(16 - 9) + (16 - 11)

 

Значение медианы вычислим по формуле (6):

 

(∑ f_i / 2) – q_{m- 1}

М_е = x_m^н + h ∙——————— = (6)

f_m

(50 / 2) – 9 25 - 9

= 7 + 2 ∙ —————— = 7 + 2∙ ———— = 9,0 (млн. руб.).

16 16

 

Если сравнить результаты, полученные графо-аналитическим и аналитическим способами, то по части величины моды вместо 8,1 – 8,3 получили 8,8 млн. руб., по части медианы – точно 9,0 млн. руб. хоть тем, хоть другим способом.

Чтобы лучше уяснить физический смысл медианы, приведем здесь еще раз содержание табл. 3 и выделим шрифтом те значения элементов исходной СС, значения которых будут меньше или равны величине медианы = 9,0 млн. руб.

 

9.4 8.0 6.3 10.0 15.0 8.2 7.3 9.2 5.8 8.7

5.2 13.2 8.1 7.5 11.8 14.6 8.5 7.8 10.5 6.0

5.1 6.8 8.3 7.7 7.9 9.0 10.1 8.0 12.0 14.0

8.2 9.8 13.5 12.4 5.5 7.9 9.2 10.8 12.1 12.4

12.9 12.6 6.7 9.7 8.3 10.8 15.0 7.0 13.0 9.5

 

Заштриховнных значений получилось из 50-ти ровно половина – 25 штук, как и следовало ожидать. В этом и есть смысл медианы, делящей всю исходную совокупность пополам: половина обследованных МП города имеют капитал до 9 млн. руб. включительно, вторая половина (оставшиеся 25 МП) имеют размер основных фондов более 9 млн. руб.

Попутно заметим, что такую структурную среднюю как медиана, можно так или иначе увидеть, то есть убедиться, что она реально существует, тогда как величину моды (наиболее часто встречающегося значения в исходной СС) увидеть можно далеко не всегда. Да, в исходной СС значения отдельных ее элементов 8,2 млн. руб. встречаются даже дважды. Но это – округленное до десятых долей, тогда как количественный показатель 8,17 млн. руб., полученный теоретически, не встречается в исходной таблице ни разу. Однако он объективно существует, независимо от нас, как некоторое обобщение, абстракция. Хотя, конечно, капиталы в 8,2 млн. руб. весьма близки к нему.

После того, как структурные средние – мода и медиана определены нами даже альтернативными методами, необходимо оценить среднее значение полученного ВР.