ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА. 22.Точка М лежит внутри треугольника АВС

22. Точка М лежит внутри треугольника АВС. Докажите, что ВМ + МС < ВА + АС.

Дано: АВС, M АC. Доказать: ВМ+МС<ВА+АС. Доказательство: 1) Рассмотрим АВN: BN<AB+AN (1) 2) Рассмотрим NMC: MC<MN+NC (2) 3) (1)+(2): BN+MC<AB+AN+MN+NC. Т.к. AN+NC=AC, MN=BN-BM, то BN+MC<AB+AC+BN-BM BM+MC<AB+AC+BN-BN. Или ВМ+МС<ВА+АС.

23. В треугольнике из вершины угла проведены биссектриса и высота. Доказать, что угол между ними равен полуразности двух других углов треугольника.

Дано: АВС, BL- биссектриса, < ABL= <LBC. BH AC. Доказать: <HBL= . Доказательство: 1) Обозначим <ABL=α, <HBL=β. Рассмотрим АВH: <ABH= α+β. <A+<ABH=900. Тогда <A= 900 – (α+β). (1) 2) Рассмотрим CBH: <CBH= α-β. <C+<CBH=900. Тогда <C= 900 – (α-β). (2) (1)-(2): <A-<C=900 – (α+β)-900 – (α-β)=2β. Отсюда β= .

24. В треугольнике ABC сумма сторон АВ и АС равна а, A =60° и длина биссектрисы угла А составляет - стороны ВС. Найдите стороны треугольника.

Дано: АВС, AК-биссектриса, АВ+АС=а, A =60°, АК= ВС. Найти: АВ, ВС, АС. Решение: Пусть АВ=х, АК=у. SBAK+SCAK= SABC. SBAK= . SCAK = . SABC = . Получим уравнение + = . Отсюда . По теореме косинусов имеем ВС2=х2+(а-х) 2-2х(f-х)cos600= x2+a2-2ax+x2-ax+x2=3x2-3ax+a2. По условию = . Далее = . Пусть х(а-х)=t. Тогда ; . 27t2=4a2(a2-3t); 27t2+ 12a2t-4a4=0. Отсюда , или х(а-х)= . 9х2-9ах+2а2=0. Отсюда , . В таком случае АВ= , АС= (или наоборот) и ВС= .

25. Биссектриса треугольника делит одну из его сторон на отрезки длиной 3 см и 5 см. В каких пределах может изменяться периметр треугольника?

Дано: АВС, AD- биссектриса, CD=3cм, BD=5 cм. Найти: Р. Решение: Пусть АС=b, AB=c, BC=a, CD=e, BD=f. Рассмотрим АВС. Т.к. AD- биссектриса, то или . Отсюда b=0.6c. По свойству стороны треугольника c<a+b или c<8+0.6c, 0.4c<8; c<20. b=0.6c<0.6∙20, т.е. b<12; P=a+b+c<8+12+20; т.е. P<40. По свойству стороны треугольника b+c>a или a+b+c>2a; Т.е. P>2a; P>16. Ответ: 16<P<40.

26. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумм квадратов всех его сторон.

Дано: АВСD - параллелограмм. Доказать: . Доказательство: 1) Обозначим AC=d1. BD=d2. AB=DC=a, AD=BC=b. <A= α, <D=β =1800 - α. 2) Рассмотрим ВAD: по теореме косинусов имеем: или 3) Рассмотрим ACD: по теореме косинусов имеем: или . Т.к. cos β=cos(1800 – α)=-cosα, То . Отсюда .

27. Один из углов треугольника 150⁰, а две из его сторон равны 2 и 7. Найдите всевозможные значения площади треугольника.

Решение: Возможно 2 случая: 1) против угла 150⁰ лежит сторона, равная 7; 2) против угла 150⁰ лежит неизвестная сторона, т.к. сторона, равная 2 может лежать только против острого угла.

Случай 1.	Дано: АВС, <С=α=1500, a=2, b=7. Найти: S. Решение: S= . . S=0,5∙2∙7∙0,5=3,5.
Случай 2.	Дано: АВС, <B=α=1500, a=2, b=7. Найти: S. Решение: 1) По теореме синусов имеем: . Отсюда с= = () = 14 . 2) . 3) (т.к. <A + <C = 300, и <A + <C + <B = 1800, то) = = = . 4) Отсюда с=14 =14 = . 5) S= = . Ответ: .

28. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 2.Чему равно основание этого треугольника, если известно, что площадь треугольника – целое число?

Дано АВС-равноб. треугольник, АВ=ВС=2. Найти АС. Решение: Пусть угол В=а. Тогда S= ∙2∙2∙sina=2sina. Т.к. S- целое число, то sina=1 и sina= . Т.е. В=300 или В=900 или В=1500. 1) В=300. АС= . 2) В=1500. АС= . 3) В=900. По теореме Пифагора АС=2 .

29. Одна из сторон треугольника равна 8, а два из его углов равны 30⁰ и 45⁰. Найдите всевозможные значения периметра треугольника.

Решение: Имеем сторону равную 8, <α=45⁰, < β=30⁰, <γ=105⁰. Для решения задачи возможны 3 случая:

1) к стороне равной 8, прилегают углы 45⁰ и 30⁰.

2) к стороне равной 8, прилегают углы 30⁰ и 105⁰.

3) к стороне равной 8, прилегают углы 45⁰ и 105⁰.

Случай 1.	Дано: АВС, <α=300, < β=450, <γ=1050. Найти: P. Решение: по теореме синусов имеем: . Или . Тогда , . =0.5, = , = + = . Тогда . = . Р= a + b + c = 8 + + = = .
Случай 2.	Дано: АВС, <α=300, < β=1050, <γ=450. Найти: P. Решение: по теореме синусов имеем: . Или . Тогда , . =0.5, = , = . Тогда . . Р= a+b+c=8+ + = .
Случай 3.	Дано: АВС, <α=450, < β=1050, <γ=300. Найти: P. Решение: по теореме синусов имеем: . Или . Тогда , . =0.5, = , = . Тогда . . Р= a+b+c=8+ + = . Задача решена полностью. Ответ: 1) 2) 3) .

30. В треугольнике АВС точки А₁, В₁, С₁ делят стороны ВС, АС, АВ соответственно в отношениях: ВА₁: А₁С = 3: 7; АВ₁: В₁С = 1: 3; АС₁: С₁В = 1. Найдите отношение площадей треугольников АВС и А₁В₁С₁.

Дано: АВС, , , . Найти: . Решение: Пусть АС= b, AB=c, BC=a, А1С1= b1, A1B1=c1, B1C1=a1. 1) C1B=C1A=c/2. 2) Исходя из пропорции , получаем , . 3) Исходя из пропорции , получаем , . 4) Найдем S0. S0 = S-(S1+S2+S3). 5) = = = . 6) = = = . 7) = = = . S0 = S-(S1+S2+S3)=S-( + + )=S(1- - - )= . В результате получаем . Или . Ответ: 5:1.

31. Пусть А и В – точки, l – прямая на плоскости. Найдите на прямой l такую точку М, что сумма АМ + МВ принимает наименьшее значение, если точки А и В расположены:

а) по разные стороны от прямой l; б) по одну сторону от прямой l.

	Случай 1: M= - искомая точка. Докажем это. Рассмотрим произвольную точку Т отличную от М, тогда получаем АТ+ТВ>AM+MB (по неравенству треугольника).
	Случай 2: Из точки В опустим перпендикуляр ВН, и на продолжении перпендикуляра ВН отложим отрезок НВ1, равный ВН. Тогда М= - искомая точка. Докажем это. Имеем АМ+МВ1=АМ+МВ, т.к. треугольник ВМВ1 – равнобедренный, и ВМ=МВ1. Теперь если рассмотрим точку Т отличную от М, то получим АТ+ТВ1>АМ+МВ1>АМ+МВ.

32. Доказать, что медиана, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.

Дано: АВС, <С=900, СС1 - медиана. АС1=С1В. Доказать: СС1= АС1=С1В. Доказательство: на продолжении медианы СС1 отложим отрезок С2С1, равный отрезку СС1. В результате построений получили прямоугольник, а в прямоугольнике, мы знаем, что диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Т.е. получаем СС1= АС1=С1В.

33. Площадь треугольника АВС равна 30 см². На стороне АС взята точка D так, что AD: DC = 2: 3. Длина перпендикуляра DE, проведенного на сторону ВС, равна 9 см. Найти ВС.

Дано: АВС, SABC=30 cм2. D AC. AD:DC = 2:3. DE BC, DE=9. Найти: ВС. Решение: 1) Проведем высоту ВН. SABC = SABD + SBDC = 30 cм2. 2) Треугольники ABD и DBC имеют одинаковую высоту ВН. Тогда 3SABD = 2SBDC. 3) С другой стороны SABD=1/2AD∙BH. SBDC = 1/2DC∙BH = 1/2DE∙BC. 4) Получаем SABD + SBDC = 2/3 SBDC+SBDC =30. Отсюда SBDC = 18. 5) 18=1/2∙9∙BC. Отсюда ВС=4.

34. Вывести формулу для вычисления медианы треугольника по трем его сторонам.

Дано: АВС, АВ=с, ВС= а, АС=b. АА1-медиана. Найти: АА1. Решение: 1) Обозначим АА1=mа. Достроим отрезок А1А2, Равный АА1. Получаем параллелограмм АВА2С. Известно свойство или . Отсюда . .

35. В треугольнике даны длины двух сторон и величина угла между ними. Найти длину биссектрисы, проведенной из вершины данного угла.

Дано: АВС, АВ=с, ВС= а, АС=b. <ACB=α. CC1-биссектрисса. Найти: СС1. Решение: 1) Обозначим СС1= l. 2) SABC = ; SCC1B= ; SCC1A= . SABC= SCC1B+ SCC1A. Отсюда = + . = . Отсюда .

36. В треугольнике АВС проведена медиана ВD, , , ВС = а. Найти медиану ВD.

Дано: АВС, BD- медиана, AD=DC, <ABD=α, <DBC=β, BC=a. Найти: BD. Решение: 1) Применим теорему синусов в ABD, DBC, ABC. 2) Пусть <ADB=φ. Тогда <BDC=1800-φ. <A=1800-α-β-φ+β=1800-(α+φ). <C= φ-β, <B= α+β. 3) ABD: . 4) DBC: . 5) ABC: . 6) Из 3): . Из 4): . 7) Т.к. AD=DC, = . Или = (1) Из 5) = + ; = = . . . Ответ: .

37. В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к основанию и к боковой стороне, равны соответственно 10 и 12 см. Найти длину основания.

Дано: АВС, АВ=ВС, BB1 AC, BB1 =10, АА1 ВC, АА1 =12. Найти: АС. Решение: 1) ВВ1С~ AA1С (по двум углам). Т.к. <C- общий, <ВВ1С=<AA1С=900. Из подобия треугольников следует . 2) Пусть АС=х, ВС=у. Тогда , . (1) 3) Из АВВ1 имеем (2). 4) Решаем систему: . Отсюда х=15. Ответ: 15.

38. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4, проведена медиана к боковой стороне. Найдите основание треугольника, если медиана равна 3.

Дано: АВС, АВ=ВС= 4, СК- медиана, СК=3. Найти: АС. Решение: = . Отсюда ; х= . Ответ: .

39. В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90⁰, CD - высота, а один из катетов вдвое больше другого. В треугольниках ACD и BCD проведены биссектрисы DK и DP соответственно. Найдите площадь треугольника АВС, если KP = 4.

Дано: АВС, <ACB=900. CD-высота. , DK, DP- биссектрисы ACD и BCD соответственно. КР=4. Найти: SABC. Решение: 1) АВС ~ АDС~ BDC. (по двум углам). Т.к. <C=<ADC=<BDC=900, <A и <B-общие. 2)Из подобия следует: . По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника, получаем ; ; Отсюда , , СР=КС; КРС - равнобедренный прямоугольный. Отсюда , ; ; SABC = .

40. Доказать, что сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон равна высоте этого треугольника, проведенной к боковой стороне.

Дано: АВС, АВ=ВС, М АС, МК АВ, МР ВС, СН АВ. Доказать: СН=МК+МР. Доказательство: 1) SAВC= АВ∙СН. (1), SAВC=SMАВ+SМВC= МК∙АВ + МР∙ВС = АВ(МК+МР), (2) так как АВ=ВС. 3) Из равенств (1) и (2) следует: АВ∙СН = АВ(МК+МР) и СН = МК+МР.

41. Докажите, что медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей.

Дано: АВС, АА1, ВВ1, СС1- медианы, М= АА1 ВВ1 СС1. Доказать: . Доказательство: 1) Пусть ВН АС и МН1 АС. Тогда МН1= ВН, так как В1МН1~ В1ВН и В1М:ВВ1=1:3. 2) SAMC= МН1∙АС; SAВC= ВН∙АС. Значит, SAMC= SAВC. Аналогично доказывается, что SMВC= SAВC и SMАВ= SAВC. 3) SMАВ1= МВ1∙МН1; SВ1МС= МН1∙В1С, так как АВ1= В1С, то SMАВ1=SMВ1С= SAВC. Аналогично, SСМА1= SMА1В = SAВC, SMАС1 = SMС1В = SAВC. Таким образом, нами доказано, что медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей.

42. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла. Отрезок, соединяющий ее основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найти углы треугольника.

Дано: АВС, <ACB=900. ВЕ- медиана, АD- биссектриса угла А. Найти: <A, <B. Решение: 1) Т.к. ВЕ – медиана, т. О точка пересечения медиан в треугольнике АВС, то ВО:ОЕ=2:1 2) Т.к. АС||OD, то по т. Фалеса имеем DB:DC=BO:OE=2:1. 3) По свойству биссектрисы имеем DB:DC=AC:AB=1:2. 4) Отсюда 2АС=АВ, следовательно, <B=300, <A=600.

43. Сторона АВ треугольника АВС равна . На стороне ВС отмечена точка К так, что КАС = В. Найдите площадь треугольника, если ВК = 9, КС = 4.

Дано: АВС,К ВС, КАС = В. ВК =9, КС-=4, АВ= . Найти: SABC. Решение: 1) В АВС и КАС С общий, КАС = В, следовательно, они подобны по двум углам. Из подобия следует: . . Отсюда АС2=13*4. АС= . 2) Т.к. АВ2+АС2=()2+()2=13∙13=ВС2, то получили, что АВС является прямоугольным с катетами АВ и ВС. Следовательно, S= AB∙AC= ∙ ∙ =39 Ответ: 39.

44. Найти острые углы треугольника АВС, если , , ВК = 1, где СК – высота треугольника.

Дано: АВС, <ACB=900. CК - высота. ВК=1, АС= . Найти: α, β. Решение: 1) Т.к. СК – высота опущенная из прямого угла, то СК= . 2) Из СКВ, по т. Пифагора имеем ; . Но АС= , ВК=1, откуда ; АК=3; 3) , α=300, β=900-300=600.

45. Высоты АН и ВК равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС пересекаются в точке О так, что ВО = 5, ОК = 3. Найдите АН.

Дано: АВС, АН, ВК - высоты. АН ВК=О, ВО=5, ОК=3. Найти: АН. Решение: 1) Высота АН в АВС является медианой и биссектрисой. Следовательно, отрезок АО- биссектриса в АВК. 2) По свойству биссектрисы имеем ВО:ОК=АВ:АК. Отсюда АВ:АК=3:5. 3) Пусть х- коэффициент пропорции, тогда АК=3х, АВ=5х. 4) В прямоугольном АВК получаем АВ2=АК2+ВК2. Или (5х)2-(3х)2=(5+3)2. Следовательно, 16х2=64, или х=2. Тогда АВ=10, АК=6. 5) Т.к. АВ=АС, то КС=10-6=4. По т. Пифагора в ВКС имеем ; вс= . 6) Используя дважды формулу площади для АВС, получаем: ВС∙АН=АС∙ВК (В одном треугольнике проведены две высоты, следовательно получаем равенство произведений оснований на высоты). Итак, ∙АН=10∙8. Следовательно, АН= = . Ответ: .

46. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка К. Известно, что В + С = АКВ. АК = 5, ВК = 16, КС = 2. Найдите сторону АВ.

Дано: АВС,К ВС, В + С = АКВ. АК =5, ВК =16, КС =2. Найти: АВ. Решение: 1) АКВ является внешним углом для АКС, поэтому АКВ = КАС + С. Но по условию В + С = АКВ, значит, КАС = В. 2) В треугольниках АВС и КАС С – общий, КАС = В, следовательно, они подобны. Из подобия получаем: . Из пропорции имеем . Значит, АС2=36, или АС=6. 3) Из пропорции получаем . Следовательно, АВ=15. Ответ: 15.

47. В треугольнике АВС В = 135⁰, АВ = , АС = 5. Найдите площадь треугольника.

Дано: АВС,К ВС, В =1350. АВ = , АС=5. Найти: SABC. Решение: 1) Пусть ВС=х. Тогда по теореме косинусо имеем: . Подставив данные получим, . Т.е. 25=18+х2+6х или х2+6х-7=0. Корни уравнения – числа- -7 и 1. Следовательно, ВС=1. 2) Применив формулу , найдем площадь треугольника: . Ответ: 1,5.

48. В остроугольном треугольнике АВС А = 60⁰, ВС = 10, отрезки ВМ и СК – высоты. Найдите отрезок КМ.

Дано: АВС,К ВС, А=600. ВС =10, ВМ, СК- высоты. Найти: КМ. Решение: 1) Прямоугольные треугольники АВМ~ АСК (по двум углам). (Т.к. АМВ= АКС=900, А-общий). Следовательно, . 2) Треугольники АВС~ АМК (по двум сторонам и углу между ними). (Т.к. А-общий, ). Следовательно, . Итак, . Т.е, КМ=5. Ответ: 5.

49. В треугольнике АВС: АВ = 5, ВС = 10, АС = . Найдите площадь треугольника, образованного высотой АН, медианой АМ и биссектрисой ВК данного треугольника.

Дано: АВС,А В =5, ВС=10, АС= . АН ВС, АМ-медиана, ВМ=МС, ВК-биссектриса. Найти: SAOT. Решение: 1) Пусть биссектриса ВК пересекает сторону АН в точке О, а медиану АМ в точке Т. Выразим катетАН прямоугольных треугольников АВН и АСН через их гипотенузы и катеты: Из АВН: АН2=АВ2-ВН2. Из АСН: АН2=АС2-СН2. Или АВ2-ВН2= АС2-СН2. Пусть ВН=х, тогда получим, 52-х2=()2-(10-х)2. Решая уравнение получим, х=4. Т.е. ВН=4, значит, АН= . НС=10-4=6. 2) В прямоугольном АМН: НМ=ВМ-ВН=5-4=1. Тогда АМ= . SAHM= АН∙НМ= ∙3∙1=1,5. 3) Т.к. АМ- медиана, ВМ=10:2=5=АВ, следовательно, АВМ- равнобедренный, и биссектриса ВК в АВМ является медианой и высотой, т.е. АТ=ТМ, ВТ АМ. Следовательно в АОТ АТО=900. АТ= . 4) АТО~ АНМ по двум углам. (Т.к. НАМ- общий, АТО = = АНМ=900). Следовательно, SATO: SAHM = (AT: AH)2 = =(:3)2=5:18. Отсюда SATO = . Ответ: .

50. Площадь равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС равна 160, боковая сторона равна 20. Высоты ВК и АН пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВО.

Дано: АВС, AB=AC=20, SABC=160,BK AС, AH BC, O=BK AH. Найти: SABO. Решение: 1) SABC=0,5BK∙AC, значит, ВК= ⇐ Предыдущая123 Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 2735. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы! Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности... Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями... Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм... Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени... Концептуальные модели труда учителя В отечественной литературе существует несколько подходов к пониманию профессиональной деятельности учителя, которые, дополняя друг друга, расширяют психологическое представление об эффективности профессионального труда учителя... Конституционно-правовые нормы, их особенности и виды Характеристика отрасли права немыслима без уяснения особенностей составляющих ее норм... Толкование Конституции Российской Федерации: виды, способы, юридическое значение Толкование права – это специальный вид юридической деятельности по раскрытию смыслового содержания правовых норм, необходимый в процессе как законотворчества, так и реализации права... Понятие и структура педагогической техники Педагогическая техника представляет собой важнейший инструмент педагогической технологии, поскольку обеспечивает учителю и воспитателю возможность добиться гармонии между содержанием профессиональной деятельности и ее внешним проявлением... Репродуктивное здоровье, как составляющая часть здоровья человека и общества   Репродуктивное здоровье – это состояние полного физического, умственного и социального благополучия при отсутствии заболеваний репродуктивной системы на всех этапах жизни человека... Случайной величины Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x): Понятие плотность распределения вероятностей случайной величины Х для дискретной величины неприменима...