Студопедия — Теорема: пусть функция u(x), v(x) и их производные u,(x), v,(x), непрерывны на [a,b], тогда справедлива формула .
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теорема: пусть функция u(x), v(x) и их производные u,(x), v,(x), непрерывны на [a,b], тогда справедлива формула .






Метод замены переменных в определенном интеграле:

Теорема: пусть функция f(x) непрерывна на [a,b], а функция x=ϕ(t) непрерывно-дифференцируема на [α,β], причем ϕ(α)=а, ϕ(β)=b и функция a≤ϕ(t)≤b, тогда имеет место формула:

Интегрирование четных и нечетных функций:пусть функция f(x)непрерывна на [a,b], тогда вычисление интеграла можно упростить учитывая свойства четности и нечетности функции f(x). Имеет место формула:

 

7. Вычисление площади в декартовой системе координат:

 

f2(x) f1(x) xϵ[a,b]

S=

f2≥f1

S=

 

Параметрическое задание:

x(α)=a, x(β)=b

В полярных координатах:

 

12. Несобственные интегралы второго рода:

Пусть f(x) непрерывна на промежутке [a,b) и неограниченна при x→b (f(x)→∞ при x→b) в этом случае несобственный интеграл 2-го рода принимают следующим образом: .

Если предел существует, говорят, что интеграл сходится, не существует или бесконечен – расходится.

Теорема (сравнения):пусть на промежутке [a,b) функции f(x), ϕ(x) непрерывны и f(x)→∞, ϕ(x)→∞ при x→b при этом 0≤f(x)≤ϕ(x) тогда из сходимости интеграла: следует сходимость , а из расходимости следует расходимость .

Теорема (предельный признак сравнения): пусть на промежутке [a,b) функции f(x), ϕ(x) непрерывны и f(x)→∞, ϕ(x)→∞ при x→b при этом 0≤f(x)≤ϕ(x) если существует предел: , то интегралы либо оба сходятся либо оба расходятся.

9. Вычисление объема тела вращения:

Пусть вокруг оси Ох вращения криволинейная тра­пеция, ограниченная кривой у=f(x), прямыми х=0, х=в и Ох и пусть f(x) непрерывная на [a,b] функции (f˃0), получим тело вращения V которого вычисля­ется по формуле: (Vox=π; )*

Разобьем отрезок [a,b] на n частей в каждой части произвольно выберем точку Ci ϵ [Xi-1,X1], прове­дем, через точки Xi плоскости ˔ Ох получим слоев тела вращения, каждый слой замещением цилин­дра высотой ΔXi=Xi-Xi-1 и основанием является круг радиуса f(Ci). Сумарный объем ступенчатого тела равен , переходя к пределу прі n получім формулу (*).

 

 

10. Работа переменной силы:

Пусть материальная точка переменной под дейст­вием силы F направленной вдоль оси Ох и имею­щей переменную величину зависящей от х F=F(x), покажем, что работа совершаемая силой F по пе­ремещению точки вдоль оси Ох из х=а в х=в вычис­ляется по формуле: A=

(F, непрерывна на [a,b])

 

 

11. Несобственные интеграла с бесконечными пределами интегрирования:

Пусть функция f(x) непрерывна на [a,+∞], тогда по определению пола­гают: несоб­ственный интеграл первого рода.

Если существует конечные предел в * то говорят, что Н.И. сходится, если предел не существует или бесконечен – интеграл называется расходящимся.

Для исследования сходимости:

если на промежутке [a,+∞) не­прерывные функции f(x), ϕ(x) удовлетворяющие ус­ловию 0≤f(x)≤ϕ(x),то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости следует расходимость .

Предельный признак сходимости:если существует предел , то несобственные интегралы , либо оба сходятся либо оба расходятся.

Теорема 3: из сходимости интеграла , следует сходимость интеграла .

 

13. Уравнение связывающее независимую пере­менную, искомую функцию и ее производные на­зывается дифференциальным уравнением (ДУ).

Решением ДУ называется функция которая при подстановке в уравнение обращают его в тожде­ство.

Общим решением ДУ первого порядка называется функция у=ϕ(х,с), содержащее одну произвольную постоянную и удовлетворяющая следующим усло­виям: 1). Она является решением ДУ при каждом фиксируемом значении С. 2). Каково бы ни было начальное условие y(x0)=y0 найдется такое значе­ние произвольной постоянной с=С0, что функция у=ϕ(х,с0) будет удовлетворять заданному началь­ному условию.

Частным решение ДУ первого порядка называют любую функцию у=ϕ(х,с0) полученную из ОР при конкретных значениях постоянной.

Теорема:Если функция f(x,y) м ее частная произ­водная f’(x,y) непрерывны в некоторой области Д содержащей точку(х0,у0), то существует единствен­ное решение у=у(х) ДУ y’=f(x,y) удовлетворяющее начальному условию.

 


 

17. 1-ый тип: уравнения не содержащие явно искомую функцию у: F(x,y’,y’’)=0. Уравнение допускает понижение порядка(т.е. сводится к уравнению более низкого порядка – к первому) с помощью замены y’=z(x), где z(x)-новая неизвестная функция, тогда y’’=z’ и уравнение примет вид F(x,z,z’),решая его находим функцию z(x)=ϕ(x,C1), в итоге искомая функция у находится интегрированием:

2-ой тип: уравнение не содержащее явно независимую переменную х: F(y,y’,y’’)=0. Примени метод понижения порядка, сделаем замену: y’=p(y) y’’=(p(y))’x=dp/dy*y’x=pdp/dy,уравнение примет вид F(y,p,pdp/dy)=0 - ДУ 1-го порядка, откуда находим функцию p=ϕ(y,C1) или dy/dx=ϕ(y,C1)–с разделяющими переменными (РАЗДЕЛИТЬ ПЕРЕМЕННЫЕ). Du/ϕ(y,C1)=dx. Далее интегрируем.


 

18. ЛОДУ 2-го порядка: y’’+p(x)y’+q(x)y=0 *

Функции y1(х),y2(х) называются линейно-зависи­мыми на (а,в), если существуют такие числа α1,α2, из которых хотя бы одно отлично от 0, что выпол­няется равенство α1y1(х)+α2y2(х)=0 для любых х из интервала (а,в). Если же из выполнения указанного равенства следует, что α1=α2=0, то функции y1(х),y2(х) называются линейно-независимыми на (а,в).

О линейно-зависимых или независимых y1(х),y2(х) можно судить по определителю: - вронскиан (определитель Вронского).

ни в одной точке (а,в), тогда и только тогда, когда функции y1(х),y2(х) линейно-независимы.

Теорема: (о структуре ОР ЛОДУ 2-го порядка) если y1(х) и y2(х) линейно-независимые решения урав­нения (*), то функция y=C1*y1(x)+C2*y2(x)-где С1,С2 – произвольные постоянные являющиеся общим решением уравнения (*).

 

 

19. ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициен­тами: y’’+py’+qy=0

1. Д˃0 к1≠к2 к1,к2=(-p+(-) /2a () ОР (y=C1ek1x+C2ek2x)

2. Д=0 к1=к2=к к=-p/2 (y1=ekx y2=ekxx) OP (y=C1ekx+C2ekxx)

3. Д˂0 Д=-р-4q˂0 k1,k2=(-p+(-)i /2=α+(-)βi

OP (y=C1eαxcos(βx)+C2eαxsin(βx)=eαx(C1cos(βx)+C2sin(βx))

 


 

20. ЛНДУ 2-го порядка: y’’+py’+qy=f(x)

Теорема(о структуре ОР ЛНДУ 2-го порядка) об­щим решением ЛНДУ является сумма общего ре­шения однородного уравнения соответствующее y’’+py’+qy=f(x) и некоторого частичного решения уравнения y’’+py’+qy=f(x): yоноочн

 


 

21. Метод вариации произвольных постоянных:

Пусть y=C1(x)y1+C2(x)y2-где С1(х),С2(х) некоторые функции подлежащие определению

Для нахождения С1(х),С2(х) потребуем чтобы учн было решением уравнения y’’+py’+qy=f(x) (*)

Найдем учн= C1(х)’y1++C1(x)y1’+C2(x)’y2+C2(x)y2’, пусть для упрощения C1’(x)y1+C2’(x)y2=0, тогда y’чн=C1(x)y1’+C2(x)y2’, далее y’’чн=C1’(x)y1’+C1(x)y1’’+C2’(x)y2’+C2(x)y2’’ подстав­ляем в уравнение (*).

Требуем (…………..)=f(x), и так, чтобы y=C1(x)y1+C2(x)y2 было решением уравнения, должны выполнятся следующие требования:

Из полученной системы определяем С1’(х), С2’(х), находим С1(х), С2(х): интегрированием

Записываем учн=С1(х)у1+С2(х)у2, после чего уоноочн

 

22. Метод неопределенных коэффициентов(метод подбора)


 

23. Если существует предел интегральной суммы при n→∞(λ→0) который не зави­сит ни от способа разбиения области Д на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области Д и обо­значается .

Свойства двойного интеграла:

1.Линейность:

2. Аддитивность:

3. Монотонность: а). если f(x,y)≥0 в Д, то б). если f(x,y)≤g(x,y), то

4. Оценка двойного интеграла: пусть м- наи­меньшее, М- наибольшее значения функции z=f(x,y) в области Д, тогда m(Sd)≤ ≤M(Sd)

5. Аналог теоремы о среднем: пусть f(x,y) не­прерывна в Д, тогда существует М0(х0,у0) ϵ Д что

S(x)= - площадь поперечного сече­ния цилиндрического тела.

V= - объем ци­линдрического тела

 


24. Если существует предел интегральной суммы , при →∞(λ→0) независящей ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек в них, то он называется тройным ин­тегралом от функции f по области V и обозначается

Свойства тройного интеграла:

1. Линейность

2. Аддитивность:

3. Монотонность: если f(x,y,z)≤g(x,y,z)

4. тела

5. ценка тройного интеграла: m*V≤

6.

7. p=p(x,y,z) тела

 


 

25. Если существует предел интегральной суммы при n→∞(λ=max →0), кото­рый не зависит ни от способа разделения кривой на части, ни от выбора точек , то он называется криволинейным интегралом от функции f(x,y) по длине дуги и обозначается:

Свойства КРИ-1: 1.

2.

3.

4. f(x,y)≤g(x,y),

5. - длина дуги

6. p(x,y), m=

7. , где (хс,ус) АВ

 


 

27. пусть функция Р(х,у), Q(х,у) непрерывны вместе со своими частными производными в области Д, тогда имеет место формула:

-где - граница области Д и интегрирование производится в положительном направлении, ко­гда при движении по область Д остается слева. На­зывается формулой ГРИНА, она связывает КРИ-2 по границе области с двойным интегралом, по са­мой области.

Условия независимости КРИ-2:

1. Для любой замкнутой кривой расположен­ной в Д:

2. Для любых 2-х точек А и В лежащих в Д значе­ний интеграла , не зави­сит от выбора пути интегрирования целиком лежащего в Д.

3. P(x,y)dx+Q(x,y)dy – представляет собой пол­ный дифференциал некоторой функции u(x,y) определенного в области Д т.е. такой, что du=Pdx+Qdy

4. В области Д всюду:


28. Пусть задана поверхность S и функция f(x,y,z), разбивающая поверхность на части площадями . В каждой части произвольно выбирают точку Мi(xi,yi,zi), составляют интегральную сумму и нахо­дят ее предел называемый поверхностным инте­гралом(ПОВИ-1):

Свойства: 1. f=1 поверхности

2. Если задана плотность поверхности то, поверхности

 


 

29. Рассмотрим 3 непрерывные функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) и выберем определенную сторону поверхности S (ориентированную поверхность). Выбранную сторону S разбиваем на части, затем проектируем эти части на координатные плоскости и строим интегральные суммы например: , где это площадь проекции соответствующей части на плоскость Оху (+)-если нормаль составляет с Оz острый угол и (-) – если ту­пой. В пределе при n→∞ такая сумма дает ПОВИ-2

Общий вид ПОВИ-2:


30. Если в каждой точке М некоторой области задан вектор (M), то говорят, что в области задано векторное поле (если рассматриваемая область на плоскости, поле называется плоским).

Характеристики векторного поля: 1. Поток ПS( векторного поля , через ориентированную поверх­ность S называется ПОВИ-1 скалярного произведе­ния вектора на единичный вектор нормали к поверхности S: ПS(

2. Циркуляцией векторного поля вдоль замкнутой ориентированной кривой L, называется следующее КРИ-2: ЦL( =


31. Дивергенцией векторного поля называется ве­личина: = он характеризует мощ­ность источника, если ˃0 в точке М и мощ­ность стока, если ˂0 в точке М.

Ротором (вихрем) векторного поля называется (m)= = ( + +

Если (m) поле называется без вихревым или по­тенциальным, при этом существует такая скалярная функция u(m) что grad u= , u- называется потен­циалом поля.

Векторное поле в каждой точке которого дивергенция равна 0, называется соленоидальным.


33. Достаточные признаки сравнения:

1. Признак сравнения: пусть даны 2 знака положи­тельных ряда , причем начиная с некоторого n Un≤Vn, тогда из сходимости следует сходимость , а из расходимости следует расходимость .

2. Предельный признак сравнения:пусть даны 2 знака положительных ряда , и пусть , тогда ряды , либо оба расходятся, либо оба сходятся.

3. Признак Даламбера: пусть дан знака положи­тельный ряд и пусть существует конечный или бесконечный предел отношения последующего члена ряда к предыдущему: =l

При l˂1 ряд сходится

При l˃1 ряд расходится

При l=1 признак ответа не дает

 


 

34. Интегральный признак Коши: если члены знака положительного ряда могут быть представлены, как числовые значения некоторой непрерывной, монотонно убывающей на промежутке [1,∞) функ­ции f(x), так что U1=f(1), U2=f(2) и т.д., а Un=f(n).

1. если сходится, то сходится ряд

2. Если расходится, то расходится и ряд


 

38. Рядом Тейлора для функции f(x) называется ряд вида:

Если модули всех производных функции f(x) ограничены в окрестности точки х0 одним и тем же числом М˃0, то для любых х из этой окрестности ряд Тейлора функции f(x) сходится к самой функции f(x), т.е. имеет место разложение: ,причем это разложение единственно.

При х0=0 ряд Тейлора называется рядом Маклорена и имеет вид:


39. Ряды Маклорена для некоторых функций:

1). y=sinx

(абсолютно сходится на всей числовой оси)

2). y=cosx

(абсолютно сходится на всей числовой оси)

3). y=

(абсолютно сходится на всей числовой оси)

4). y=ln(1+x)

(сходится, если х ϵ (-1,1])

5). y=(1+x)m

Если m целое, положительное число, то вместо ряда получается конечная сумма.

Если m≥0 ряд сходится при хϵ [-1,1]

-1˂m˂0, то xϵ(-1,1], m≤1, то xϵ(-1,1)

 


 

40. Приложения степенных рядов:

· Приближенное вычисление

Пусть требуется вычислить значение функции при х=х1 с заданной точностью ε функция раскладываем в степенной ряд подставляя вместо х, значения х1 и оставляем для вычисления столько членов ряда, сколько необходимо для соблюдения заданной точности ε.

Для знака чередующихся рядов первый из отбрасываемых членов ряда должен быть по модулю меньше заданной точности.

· Вычисление интегралов

Отметим, что абсолютно сходящиеся ряды можно дифференцировать и интегрировать почленно, при этом также получаются сходящиеся ряды.

Сперва разлаживаем под интегральную функцию в степенной ряд, затем интегрируем почленно.

· Приближенное вычисление ДУ

Запишем разложение в ряд Тейлора решение задачи Коши

 


 

43.Теорема(сложение вероятностей для несовместных событий):вероятность суммы 2-ч несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. P(A+B)=P(A)+P(B)

Теорема(сложения вероятностей для произвольных событий): вероятность суммы для произвольных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

 

 


 

44. Вероятность события В, при условии, что произошло событие А, называется условной вероятностью события В и обозначается: P(B/A)

Теорема: вероятность произведения двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них, на условную вероятность другого в предположении, что первое имеет место: P (AB)=P(A)*P(B/A)

Замечание: вероятность совместного появления 2-х независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: P(AB)=P(A)*P(B)

 

 


 

45. Теорема: вероятность события А равна сумме произведений вероятностей всех гипотез на услов­ную вероятность события А: Р(А)=P(H1)*P(A/H1)+..+P(Hn)P(A/Hn)=

Пусть имеется полная группа событий H1,H2,…,Hn вероятности которых P(H1),P(H2),…,P(Hn) известны до опыта(вероятности априори). Производится опыт (испытание) в результате которого зарегист­рировано появление события А. Требуется найти вероятности гипотез после опыта (апостериори). т.е. фактически переоценить вероятности гипотез, т.к. P(AІHi)=P(A)*P(HiІA)=P(Hi)*P(AІHi) – откуда P(HiІA)=(P(Hi)*P(AІHi))/P(A)=(P(Hi)*P(AІHi))/∑P(Hi)*P(AІHi) – формула Байеса.


46. Серия повторений независимых испытаний в каждом из которых некоторое событие А происходило с одной и той же вероятностью р - называется схемой Бернулли. Т.о. в схеме Бернулли для каждого испытания возможны только 2 исхода: 1). Событие А происходит с вероятностью р. 2). Событие А не происходит с вероятностью 1-р=q.

- Формула Бернулли.

Теорема(Пуассона):пусть вероятность появления события А в каждом из n–испытаний мала (близка к 0), а число испытаний достаточно велико, тогда вероятность того, что в испытаний событие Р наступит к- раз выражает формула Пуассона: где λ= (λ≤10).

Теоремы Лапласа: 1. пусть вероятность наступления события А в каждом n–независимых испытаний постоянно и равна p(0˂p˂1). Тогда вероятность того, что в –испытаний событие появится к- раз можно найти по приближенной формуле:

*ϕ(x), где x=k-np/ , а функция имеет вид ϕ(x)=1/2π* .

2. Интегральная: пусть вероятность того, что в –испытаний событие А произойдет не менее к1 и не более к2 раз определяется по формуле: , где x2 Ф(х)= - Функция Лапласа.

Ф(-х)=-Ф(х)-нечетная, Ф(х)=1/2 для х˃5


 

49. ДСВ Х называется распределенной по биномиальному закону, если она принимает свои значения к с вероятностями вычисленными по формуле Бернулли:

Характеристики:M(x)=np; D(x)=npq; σ=

СВ Х называется распределенной по закону Пуассона, если вероятности с которыми она принимает свои значения вычисляется по формуле Пуассона:

Характеристики:M(x)=np=λ; D(x)=np=λ; σ(x)=

 


 

50. Пусть функция распределения непрерывной СВ имеет производную F’(x)=p(x), тогда функция p(x) называется плотностью вероятности непрерывной случайной величины.

Свойства плотности вероятности:

1. P(x)≥0 (P(x))

2.

3. P(a˂x˂b)=

4. a=-∞ b=x p(-∞˂X˂x)=p(X˂x)=F(x) F(x)=

Числовые характеристики непрерывной СВ:

1. под математическим ожиданием непрерывной СВ Х понимается величина несобственного интеграла:

, если он сходится.

2. D(X)=

3. σ(X)=


51. Непрерывной СВ Х называется равномерно распределенной, если ее плотность вероятности постоянна на отрезке [a,b], а вне этого отрезка =0, т.е. p(x)=

Плотность вероятности распределения: =

F(x)=

Числовые характеристики:

1. M(X)=(a+b)/2

2. D(X)=(b-a)2/12

3. Σ(X)=Іb-aІ/2

 


52. Распределение непрерывной СВ называется показательным, если плотность вероятности имеет вид: λ≥0

F(x)=

Числовые характеристики:

1. M(X)=1/λ;

2. D(X)=1/λ^2

3. σ(X)=1/λ;


14. ДУ первого порядка с разделяющими переменными: P1(x)Q1(y)dx+P2(x)Q2(y)dy=0

При делении на Q1(y)P2(x) могут быть потеряны решения, если отдельно решить уравнение Q1(y)P2(x)=0 можно установить так называемые особые решения, которые могут быть получены из общего решения.

Уравнение вида y’=f1(x)f2(y) также называется ДУ с разделяющими переменными.

 

15. Функция f(x,y) называется однородной функцией н-ной степени, если при умножении каждого ее фрагмента на t вся функция умножается на tn: f(tx,ty)=tn*f(x,y). Функция называется однородной в нулевой степени, если f(tx,ty)=f(x,y).

ДУ 1-го порядка y’=f(x,y) называется однородным, если функция f(x,y) стоящая справа является однородной функцией нулевой степени.

Можно показать, что любое однородное уравнение сводится к уравнению вида: y’=ϕ(y/x) (*).

Полагая (y/x=u) где u, новая независимая функция сводят однородное уравнение (*) к уравнению с разделяющими переменными.

 

16. Уравнения вида y’+p(x)y=q(x) заданные непрерывной функцией называются линейными ДУ 1-го порядка.

Метод решения: искомая функция у представляется в виде произведения 2-х новых функций u и v: y=uv, тогда y’=u’v+uv’

u’v+uv’+p(x)uv=q(x)

u’v+u(v’+p(x)v)=q(x) потребуем, чтобы выражение в скобке обращалось в ноль, приходим к системе:

Сначала из 1-го уравнения системы находят функцию v=v(x) это уравнение с разделяющими переменными: v’+p(x)*v=0

v’=-p(x)*v

dv/dx=-p(x)*v

dv/v=-p(x)dx

Ln|v|=-

V=

Во второе уравнение системы подставляют v находим функцию u=u(x,C), обычно эта функция находится непосредственным интегрированием. В итоге y=u(x,C)*v(x)- ОР исходного уравнения.

Уравнение Бернулли: y’+p(x)y=q(x)yα

 

 

17. ДУ 2-го порядка, допускающие понижение порядка: 1-ый тип: F(x,y’,y’’)=0 (т.е. сводится к уравнению более низкого порядка) с помощью замены y’=z(x) где z-новая независимая функция, тогда: y’’=z’ и уравнение


32. Рядом называется выражение вида:
Un – общий член ряда.
Определение: если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда при n→∞, то ряд – называется сходящимся, при этом её сумма равна пределу частичных сумм. - сумма ряда.
Если же предел последовательных частичных сумм не существует или бесконечен, ряд называется расходящимся.
Свойства:
1. Если ряд сходится и С ≠ 0 – некоторая постоянная, то сходится и ряд , причем его сумма = СS, где S = .

2. Если ряды сходятся, причем сумма

Un = S1, , то сходится и ряды , причем , = S1-S2.
Теорема: если ряд сходится, то предел общего члена ряда равен 0:

 

35. Признак Лейбница (достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов)
Если для знакочередующегося ряда выполнены 2 условия:
1)
последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает: U1>U2>U3>…
2) предел Un при n→∞ = 0
, то знакочередующийся ряд сходится, при этом сумма ряда не превосходит первого члена ряда:
0 < S < U1

 

Знакопеременным называется рядсодержащий бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов. Определение: Рассмотрим ряд, если сходится ряд составленный из модулей членов исходящего ряда, то исходящий ряд называется абсолютно сходящимся. Если же ряд расходится, но при этом ряд является сходящимся, то говорят, что исходный ряд условно сходится.

 

 

37. Ряд, членами которого является функция, зависящая от Х, называется функциональным рядом:


Среди функциональных рядов особую роль играют степенные ряды, то есть ряды вида:
где a0,a1 и т.д. – числовые коэффициенты ряда. (х – действительная переменная)
Теорема Абеля: если степень ряда (1) сходится при х=х*≠0, то он абсолютно сходится при всех значениях х удовлетворяющих неравенству │х│<│x*│
Итак область сходимости степени ряда представляет собой интервал вида (-│х*│, │х*│) с возможно присоединяющимися к нему концами.
Определение: радиусом сходимости степенного ряда (1) называют неотрицательное число R, такое, что при │х│< R ряд сходится, а при │х│> R – расходится.
R =

 


42. Пусть выполнены следующие предположения:

1. Число элементарных исходов конечно.

2. Все элементарные исходы равновозможны, тогда верны следующие классические ….

Под вероятностью Р(А) событие А понимается отношение числа элементарных исходов благоприятствующие событию А общему числу всех равновозможных элементарных исходов данного испытания. Р(А)=m/n. – n – общее число элементарных исходов; m – число элементарных исходов данного события А.

Обобщение классическим вероятности на бесконечное число элементарных исходов является геометрическая вероятность. Пусть равновозможные элементарные исходы являются точками органического множества G n-мерного пространства (n=1,2,3).

 

41. Элементарными событиями (или элементарными исходами) называется единственные возможные взаимно-исключающие исходы опыта, (неразложимые исходы опыта) обозначающие w1, w2 и т. д. А все общее исходов относится к данному опыту обозначается Ω={w1,w2,w3…} – и называется пространством элементарных исходов.

Алгебра событий: 1) Суммой двух событий А и В называется событие А+В (АᶸВ), состоящее из всех элементарных принадлежащих по крайней мере одному из событий А или В. Событие А+В имеет место когда происходит хотя бы одно из событий А или В. А+В. 2) Произведение событий А или В называется событие АВ (А В) состоящий из элементарных событий принадлежащих А и В одновременно. Событие А и В происходит когда происходит как событие А, так и событие В одновременно. АВ.

 

47. Универсальным способом задания случайной величины Х является ее функции распределения F(x) которая определяется следующим образом: F(x)=P(X˂x) – вероятность того, что СВ Х примет значение меньше х.

Свойства функции распределения:

1) 0≤F(x)≤1

2) ,

3) F(x) – неубывающая на всей числовой оси т. е. если х1˂х2 =˃ F(x1) ≤ F(x2)

4) P(x1≤ x ˂ x2)= F(x2) – F(x1)

5) F(x) непрерывна слева

6) P(X ≥ x) = 1 - P(X ˂ x) = 1 – F(x)

 

48. СВ Х называется дискретной или она принимает конечное или четное число значений.







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 649. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Особенности массовой коммуникации Развитие средств связи и информации привело к возникновению явления массовой коммуникации...

Тема: Изучение приспособленности организмов к среде обитания Цель:выяснить механизм образования приспособлений к среде обитания и их относительный характер, сделать вывод о том, что приспособленность – результат действия естественного отбора...

Тема: Изучение фенотипов местных сортов растений Цель: расширить знания о задачах современной селекции. Оборудование:пакетики семян различных сортов томатов...

Значення творчості Г.Сковороди для розвитку української культури Важливий внесок в історію всієї духовної культури українського народу та її барокової літературно-філософської традиції зробив, зокрема, Григорій Савич Сковорода (1722—1794 pp...

Постинъекционные осложнения, оказать необходимую помощь пациенту I.ОСЛОЖНЕНИЕ: Инфильтрат (уплотнение). II.ПРИЗНАКИ ОСЛОЖНЕНИЯ: Уплотнение...

Приготовление дезинфицирующего рабочего раствора хлорамина Задача: рассчитать необходимое количество порошка хлорамина для приготовления 5-ти литров 3% раствора...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия