Первая основная задача динамики

 

В основе классической динамики лежат законы, впервые сформулированные и систематически изложенные И.Ньютоном в его «Математических началах натуральной философии».

 

В зависимости от того, что нам известно и что необходимо найти, в динамике рассматривают две основные задачи.

 

Первая, основная задача динамики точки заключается в том, чтобы по заданному закону движения материальной точки определить результирующую или одну из составляющих сил, действующих на эту точку.

При наличии нескольких сил, действующих на точку, второй закон Ньютона дает основное уравнение динамики точки

где m – масса точки;

a – ускорение точки;

F_i – силы, действующие на точку.

В зависимости от способа задания движения точки, это уравнение можно записать по-разному.

Для векторного способа задания движения

где r = r (t) – радиус-вектор, определяющий положение точки по отношению к выбранной системе отсчета.

 

Для координатного способа задания движения точки

где x = x (t), y = y (t), z = z (t) – координаты точки, заданные как функции времени.

Для естественного способа задания движения точки

0 = Σ F_ib,

 

где dV/ dt – проекция ускорения точки на касательную в данной точке (касательное ускорение), V²/ ρ – проекция ускорения на нормаль (нормальное ускорение),

ρ; – радиус кривизны траектории.

 

В правой части уравнений – проекции сил на касательную ΣF_iτ,

нормаль ΣF_in и бинормаль ΣF_ib.

 

По заданному закону движения точки определяются правые части этих уравнений, и далее может быть определена результирующая сила

 

– при координатном способе задания движения:

 

– при естественном способе или одна из составляющих сил:

 

Направление силы определяется с помощью направляющих косинусов:

 

cos (α) = R_x / R, cos (β) = R_y / R, cos (γ) = R_z / R (1.5)

где α, β, γ – углы между направлением силы и осями x, y, z соответственно.

 

Аналогично определяются углы, которые составляют силы с естественными осями координат.