Студопедия — Означення. Нерозкладна матриця А, яка не є циклічною, називається примітивною.
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Означення. Нерозкладна матриця А, яка не є циклічною, називається примітивною.






Зауважимо, що одночасною перестановкою рядків і стовпців циклічної матриці А її можна звести до вигляду

, де розміри квадратного блока співпадають із кількістю елементів у множині .

Теорема. Якщо матриця примітивна, то вона стійка.

Теорема. (Ознака стійкості невід’ємної матриці в залежності від її власних чисел).

Для того, щоб нерозкладна матриця була стійкою, необхідно і достатньо, щоб всі її власні числа знаходилися всередині круга радіуса :


 

Аналіз продуктивності моделі «затрати-випуск»

Виявляється, що продуктивність моделі Леонтьєва повністю визначається величиною числа Фробеніуса матриці А коефіцієнтів прямих затрат.

Теорема 1. (Критерій продуктивності моделі «витрати-випуск»).

Для продуктивності моделі Леонтьєва

(1)

необхідно і достатньо, щоб Фробеніусове власне число матриці А задовольняло нерівність .

▼Достатність. Покажемо, що при модель (1) продуктивна. Для цього покажемо, що

*) ,

**) існує .

Маємо , отже , бо за умовою. Оскільки для вектора Фробеніуса , то твердження (*) доведено.

Запишемо тотожність, справедливу для довільної квадратної матриці А:

(2)

Перейдемо в (2) до границі при . Границя правої частини існує і дорівнює І. Тому . Отже ряд збігається і його сума представляє собою матрицю , обернену до :

(3)

Ми отримали матричний варіант формули для суми нескінченно спадної геометричної прогресії.

Оскільки при будь-якому , то матриця невід’ємна і для довільного невід’ємного вектора споживання система (1) має розв’язок

(4)

Отже, модель Леонтьєва є продуктивною.

Необхідність. Припускаючи, що модель Леонтьєва продуктивна, робимо висновок про існування такого вектора , що .

Нехай при цьому вектор , тоді . Помножимо останню нерівність скалярно на вектор :

тобто .

Оскільки , то звідси .

;

Отже, перевірка моделі Леонтьєва на продуктивність звелась до чисто математичної задачі оцінки власних чисел матриці А.

Тепер сформулюємо деякі достатні ознаки продуктивності безпосередньо в термінах параметра моделі (1).

Теорема 2. (Достатня умова продуктивності моделі «затрати-випуск»). Нехай система (1) має розв’язок при деякому .

Тоді модель Леонтьєва продуктивна.

Іншими словами, якщо деякий додатній кінцевий попит можна задовольнити в моделі Леонтьєва (1), то вона продуктивна.

;

Міркуючи так, які при доведенні необхідності в теоремі 1, будемо мати . Тепер залишається застосувати теорему 1.

;

Теорема 3. (Достатні умови продуктивності моделі «витрати-випуск»). Нехай

1) матриця невід’ємна і нерозкладна;

2) сума елементів кожногоi-го рядка не перевищує 1:

3) хоча б для одного рядка .

Тоді модель Леонтьєва, яка відповідає цій матриці, є продуктивною.

;

Доведення. Нехай лівий вектор Фробеніуса матриці А, . Тоді будемо мати

Але, крім цього

Отже, знову , тобто і далі застосовуємо теорему 1.

;

Економічне тлумачення теореми 3. Нехай ми розглядаємо міжгалузевий баланс в натурально-вартісній формі. Отже, елемент матриці А означає на яку суму j-та галузь витрачає продукцію i-ї галузі в розрахунку на 1 грн своєї продукції. Тоді виражає сумарну величину витрат продукції і-ї галузі всіма галузями при умові, що кожна з них випускає продукції на 1 грн. Умова означає, що і -та галузь здатна задовольнити потреби всіх галузей. Однак тільки цієї умови замало, бо матриця не є продуктивною.

 

x – Ax = с x >= 0

x = (I – A)-1с = () с = с + Aс + A2с + …

Прокоментуємо цю формулу, з якої, за умови продуктивності моделі, можна знайти за відомим кінцевим попитом с валовий продукт х.

Щоб дістати вектор с >= 0 кінцевого попиту необхідно виробити всю кількість продукції, яку описується компонентами цього вектора (I додаток – с) але в процесі виробництва с виникають витрати – II додаток, в свою чергу, для виробництва Ас знову маємо виробничі витрати А2с = ААс і т.д. тому ряд

(I – А)-1с = с + Ас + А2с + …

називається повними витратами на виробництво продукту, а матрицю

(I – А)-1 називаємо матрицею повних витрат.

Повернемось до моделі міжнародної торгівлі. Вияснимо поведінку векторів прибутку d з моделі, яка описується рівнянням Qd = d. Оскільки для матриці Q повинна виконуватись умова, що сума елементів кожного стовпця рівна 1, то з теореми про область зміни фробеніусового числа маємо Q = 1.

Отже, якою торгівля починається в умовах, коли початковий розподіл прибутків співпадає з одним з векторів Фробеніуса dQ, то внаслідок такої торгівлі прибутки країн не змінюватимуться: d = dQ (Q dQ = dQ) і послідовність dQ, dQ … dQ є стаціонарною.

Якщо починаємо торгівлю з довільного початкового вектора d0, то зміна вектора прибутків d(k) = Qkd0 залежить від властивостей матриці Q. Якщо Q нерозкладна і примітивна, то вона стійка, тобто , тобто ми отримали dk = = .








Дата добавления: 2015-07-04; просмотров: 1395. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

БИОХИМИЯ ТКАНЕЙ ЗУБА В составе зуба выделяют минерализованные и неминерализованные ткани...

Типология суицида. Феномен суицида (самоубийство или попытка самоубийства) чаще всего связывается с представлением о психологическом кризисе личности...

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ МОЗГА ПОЗВОНОЧНЫХ Ихтиопсидный тип мозга характерен для низших позвоночных - рыб и амфибий...

Способы тактических действий при проведении специальных операций Специальные операции проводятся с применением следующих основных тактических способов действий: охрана...

Искусство подбора персонала. Как оценить человека за час Искусство подбора персонала. Как оценить человека за час...

Этапы творческого процесса в изобразительной деятельности По мнению многих авторов, возникновение творческого начала в детской художественной практике носит такой же поэтапный характер, как и процесс творчества у мастеров искусства...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия