Динамічна рівновага в моделі Неймана.

Означення 1. Будемо говорити що модель Неймана знаходиться в стані динамічної рівноваги , де числа , n- вимірні вектори , якщо виконані умови:

γ ,

(1)

Число є не що інше як вартість затрат в стані рівноваги моделі Неймана, складовими якого є вектори інтенсивностей та цін . Природно вважати що тоді з двох останніх рівностей (1) будемо мати α.

Означення 2. Трійка де число ,

вектори такі, що

називають невиродженим положенням рівноваги моделі Неймана.

Означення 3. Число α, яке фігурує в невиродженому положенні рівноваги (2) – (4) моделі Неймана називається темпом росту

Означення 4 Розглянемо множину векторів (промінь) , де є компонентою невиродженого положення рівноваги. Такий промінь називають променем Неймана.

Цікаво знати, чи має система (2)(3)(4) розв’язок, тобто, чи існує невироджене положення рівноваги моделі Неймана, породженої парою матриць При певних обмеженнях на ці матриці, відповідь на це питання містить теорема 1.

Теорема 1. (Умова існування не виродженого положення рівноваги моделі Неймана). Нехай невід’ємні матриці такі, що матриця випуску не містить нульових рядків, а матриця затрат не містить нульових стовпчиків. Тоді відповідна модель Неймана має невироджене положення рівноваги. Інакше кажучи, система (2-4) має розв’язок.

Умови теореми допускають прозоре економічне тлумачення:

*) Умова означає,що ми не маємо серед базисних процесів таких, які нічого не витрачають (відсутній «ріг достатку»).

*) Умова означає, що в нашій системі (система замкнута!) виробляється всякий продукт.

▼Доведення

Спочатку розглянемо допоміжну задачу лінійного програмування

(5)

де - числовий параметр,

- змінні задачі,

Лема 1:Якщо - значення задачі (5), то:

(*). - неперервна функція, залежна від параметра ;

(**) ;

(***) , якщо ;

(****) - монотонна незростаюча функція;

▼Доведення

Нехай . Множина Х, очевидно, обмежена і замкнена. Значить і множина також обмежена і замкнена множина.

Значення задачі (5) має вигляд:

(6)

Існування такого скінченного випливає з обмеженості і замкнутості множини . Тобто для будь-якого задача лінійного програмування (5) має розв’язок , тобто функція визначена на всій дійсній осі.

Неперервність цієї функції випливає з загальних властивостей задач лінійного програмування, залежних від параметра.

Властивість (**) рівносильна твердженню :

Дійсно, якщо такий, що , то це неможливо, бо за умовою матриця витрат А не має нульових стовпчиків.

Властивість (***) легко вивести безпосередньо. Виберемо , тоді .

З другого боку

Нагадаємо, що в матриці В немає нульових стрічок, тобто . Звідси і випливає необхідне твердження, що при .

Четверта властивість (****) є наслідком умови :

для будь-яких .

Лема доведена. ▲

 

Зазначимо, що функція може бути обмежена зверху.

З встановлених властивостей функції випливає існування такого , для якого . Якщо відповідний розв’язок задачі (5), то

, (7)

Розглянемо задачу, двоїсту до (5):

(8)

З теореми двоїстості маємо . Якщо при цьому відповідний розв’язок задачі (8), то , (9)

З нерівностей (7) і (9) бачимо, що знайдена трійка є положенням рівноваги моделі Неймана, хоча, можливо, це не є невироджений випадок.

Значення будемо називати темпом росту.