Студопедия — Розв’язання. Перетворимо функцію до ітераційного вигляду
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Розв’язання. Перетворимо функцію до ітераційного вигляду






Перетворимо функцію до ітераційного вигляду. Маємо два варіанти перетворення: або .

Для виявлення збіжності ітерацій знайдемо похідну обох функцій. Отримаємо відповідно та .

Похідна ітераційної функції при х= 0,166 приймає значення -1,01, а при х= 1,2 не може бути розрахована через від’ємний підкореневий вираз. Очевидно, що такий ітераційний процес буде розбіжним.

Похідна ітераційної функції в діапазоні х = 0,166…0,85 має значення -1 < j'(x) < 0, а далі різко зростає. Тому в цьому діапазоні значень х ітераційний процес буде збіжним.

Приймаємо х 0 = 0,166, тоді , і так далі.

На четвертій ітерації х4 = 0,399 і похибка не перевищує 0,58%.

 

Задачі для самостійної роботи

 

Приклад 3.8. Визначити кількістьта відокремити корені нелінійного рівняння за "правилом кільця"

 

 

Варіант 1 2х4 – х3 + 4х2 + 8х – 20 = 0 Варіант 2 25х4 + 12х3 – 18х2 + 2х – 3 = 0
Варіант 3 2х4 – 3х3 – 3х2 – 4х – 8 = 0 Варіант 4 –3х4 + 2х3 + х2 – 4х + 2 = 0
Варіант 5 4х4 – 9х3 + 12х2 – 8х – 5 = 0 Варіант 6 х4 + х3 – 2х2 + 2х – 2 = 0
Варіант 7 -5х4 – 5х3 + 2х2 – 2х + 12 = 0 Варіант 8 3х4 – 9х3 + 12х2 – 2х – 12 = 0

 

Приклад 3.9. Визначити корінь нелінійного рівняння методом бісекції, хорд, дотичних та методом простих ітерацій з похибкою до 1%.

 

 

Варіант 1 2х4 – х3 + 4х2 + 8х – 20 = 0 Варіант 2 25х4 + 12х3 – 18х2 + 2х – 3 = 0
Варіант 3 2х4 – 3х3 – 3х2 – 4х – 8 = 0 Варіант 4 –3х4 + 2х3 + х2 – 4х + 2 = 0
Варіант 5 4х4 – 9х3 + 12х2 – 8х – 5 = 0 Варіант 6 х4 + х3 – 2х2 + 2х – 2 = 0
Варіант 7 -5х4 – 5х3 + 2х2 – 2х + 12 = 0 Варіант 8 3х4 – 9х3 + 12х2 – 2х – 12 = 0

 

Приклад 3.10. Скластита розв’язати систему нелінійних рівнянь з використанням Mathcad для такого завдання. Дві посудини зв’язані трубопроводом довжиною 50 м. Вода з густиною 990 кг/м3 перетікає з однієї до іншої посудини з сталими рівнями самопливом. Необхідна витрата води 12 кг/с. Шорсткість труб 0,3 мм. Сума місцевих опорів лінії складає 10. Діаметр труби 100 мм. Середня в’язкість води 0,8 × 10-6 м2/с. Визначити необхідну різницю висот між рівнями рідини в посудинах. Швидкість води в трубі, коефіцієнт опору тертя, втрати тиску в контурі.

 

 

4 ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ

 

4.1 Постановка задачі

 

Рівняння, які містять похідну одної з змінних, називають диференційними. Такі рівняння часто використовують для опису будь-якої фізичної величини, яка змінюється по відношенню до іншої змінної.

Диференційне рівняння (ДР) можна записати в загальному вигляді

 

. (4.1)

 

Розглянемо ДР вигляду . Така функція має розв’язок вигляду . Коефіцієнт а – довільна константна. Таке рівняння являє собою сукупність кривих. Тому для визначення розв’язку рівняння необхідно задати початкові дані, наприклад, що крива проходить через точку х = 0, у = 1. Таку умову можна записати . Таким чином, отримаємо, що а = 1 і можемо виділити розв’язок .

Існує багато методів розв’язання ДР через спеціальні або елементарні функції, але в реальних теплотехнічних задачах використовуються диференційні рівняння набагато складнішої побудови. Використання аналітичних методів або утруднене, або вимагає забагато часу для розв’язання.

Наближені методи розв’язання ДР поділяють на два класи методів.

1. Одноступеневі методи. Це методи в яких використовується інформація про криву, але не виконуються ітерації. Сюди відносяться метод розкладання в ряд Тейлора, але цей метод незручний для практичних розрахунків, методи Ейлера і Рунге-Кутта, які вимагають проведення повторних розрахунків функції для кожного кроку.

2. Багатоступеневі методи. Більшість таких методів називаються методами прогнозу та корекції. Ці методи не вимагають проведення повторних розрахунків, але необхідно використовувати ітераційний апарат. Перевагою є можливість оцінювання похибки на кожному кроці.

Найкращим варіантом є сполучення цих різновидів методів розв’язання ДР.

4.2 Метод Ейлера розв’язання диференційних рівнянь

 

Даний метод полягає у такому. Диференційне рівняння задає нахил кривої в будь-якій точці як функцію від х та від y. На початковому етапі відома тільки одна точка (х0, y0). Починаючи з цієї точки, знаючи нахил, просуваємося вздовж дотичної на малу відстань х1 = х0 + h, де h – крок. Таким чином, отримуємо послідовність відрізків, які є наближенням функції.

Якщо криву наближати відрізками це відразу призводить до ускладнень, таких як це показано на рис. 4.1. Таке відхилення результатів називається стійкість метода.

Розрахунок за методом Ейлера ведеться використовуючи формулу

 

. (4.2)

 

Такий метод дає добре наближення тільки при малому h і тільки на перших кількох кроках. Така низька точність пояснюється тим, що метод Ейлера має перший порядок. Перевагою такого методу є наочність та простота реалізації.

4.3 Метод Рунге-Кутта розв’язання диференційних рівнянь

Цей метод побудований на представленні задачі у дискретному вигляді

 

. (4.3)

 

Тут функція наближатиме ряд Тейлора

 

, (4.4)

і не містить похідної. Тобто використовується метод підгонки рядів Тейлора. Як можна побачити метод Рунге-Кутта першого порядку – це метод Ейлера. Найбільш популярним є метод Рунге-Кутта четвертого порядку

 

, (4.5)

 

де k1, k2, k3, k4 – значення функцій

(4.6)

 

Таким чином, при використанні цього метода на кожному кроці необхідно розраховувати функцію по 4 рази. Недоліком цього методу є складність визначення похибки розрахунку. Для грубого визначення похибки використовують правило Коллатца

 

. (4.7)

 

Якщо відношення більше кількох сотих, то крок треба зменшити.

 

4.4 Метод прогнозу та корекції розв’язання диференційних рівнянь

 

Метод Рунге-Кутта використовує інформації тільки про попередню

точку і для таких початкових даних виконується кілька повторних розрахунків. Це є нераціональним, оскільки якщо ми пройшли вже кілька точок, то маємо додаткову інформацію, для використання якої взагалі непотрібно ніяких функцій.

Особливістю методів прогнозу та корекції є те, що для їх використання необхідно мати попередню точку. Таким чином почати розв’язок за допомогою таких методів неможливо. Для того, аби розпочати розрахунок або змінити крок необхідно використовувати методи типу Рунге-Кутта.

Метод полягають у такому.

Спочатку прогнозують значення функції на наступному кроці, а потім коректують його.

Для прогнозу можна використати, формулу другого порядку

 

. (4.8)

 

Використання координат попередньої точки дозволяє зменшити похибку (пряма L ближче, ніж L1 до кривої при хі+1) (див. рис. 4.2а).

Після знаходження прогнозованої нової точки за (4.8) необхідно провести корекцію. Це здійснюють завдяки усередненню тангенсів кутів нахилу функції в точках (хі, yі) та (хі+1, yі+1) (рис. 4.2б). Розрахувати це можна за формулою


. (4.9)

 

Можна проводити ще коректування, кожен раз підставляючи уточнене прогнозне значення. Оптимальним вважається використання двох ітерацій. Таким чином, при розробці програми треба ввести умову, що якщо після двох ітерацій похибка більше допустимої необхідно зменшити крок.

Контрольні запитання

 

1. Дайте характеристику диференційних рівнянь.

2. Поясніть відмінність одно- та багатоступеневих методів розв’язання диференційних рівнянь.

3. Поясніть метод Ейлера розв’язання диференційних рівнянь.

4. Поясніть метод Рунге-Кутта розв’язання диференційних рівнянь.

5. Поясніть метод прогнозу та корекції розв’язання диференційних рівнянь.

 







Дата добавления: 2015-07-04; просмотров: 503. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

СПИД: морально-этические проблемы Среди тысяч заболеваний совершенно особое, даже исключительное, место занимает ВИЧ-инфекция...

Понятие массовых мероприятий, их виды Под массовыми мероприятиями следует понимать совокупность действий или явлений социальной жизни с участием большого количества граждан...

Тактика действий нарядов полиции по предупреждению и пресечению правонарушений при проведении массовых мероприятий К особенностям проведения массовых мероприятий и факторам, влияющим на охрану общественного порядка и обеспечение общественной безопасности, можно отнести значительное количество субъектов, принимающих участие в их подготовке и проведении...

Дизартрии у детей Выделение клинических форм дизартрии у детей является в большой степени условным, так как у них крайне редко бывают локальные поражения мозга, с которыми связаны четко определенные синдромы двигательных нарушений...

Педагогическая структура процесса социализации Характеризуя социализацию как педагогический процессе, следует рассмотреть ее основные компоненты: цель, содержание, средства, функции субъекта и объекта...

Типовые ситуационные задачи. Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической   Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической нагрузке. Из медицинской книжки установлено, что он страдает врожденным пороком сердца....

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия