Напряжения от вертикальной сосредоточенной силы

М.7.1. Решение какой задачи теории упругости для полупространства является основным? Чем обусловлена возможность использования его для решения других практически важных задач?

 

Основным является решение задачи о сосредоточенной силе, приложенной к поверхности полупространства перпендикулярно к граничной плоскости (задача Буссинеска). Для решения задач о нагрузке, имеющей горизонтальную составляющую, рассматривается дальнейшее развитие решения этой же задачи, но при сосредоточенной силе, действующей вдоль граничной плоскости (как бы "прикрепленной" к ней в одной точке, рис. М.7.1.). Аналогичные решения задач о сосредоточенных силах вертикальной и горизонтальной, то есть приложенных перпендикулярно (решение Фламана) и по касательной к границе полуплоскости, также являются основными. Из них путем интегрирования могут быть получены многие решения интересующих нас в практических целях задач.

 

Рис.М.7.1. Схема приложения сосредоточенных сил при рассмотрении основных задач теории упругости

 

М.7.2. Чему равны напряжения непосредственно под сосредоточенной силой? Какое предположение делается в отношении зоны, расположенной непосредственно у сосредоточенной силы?

 

Задача эта является абстрактной, так как в действительности усилия всегда распределяются по некоторой площадке. Непосредственно под сосредоточенной силой напряжения являются бесконечно большими. Предполагается, что сплошная среда является бесконечно прочной и не может разрушаться. Буссинеск, чтобы обойти это обстоятельство, не рассматривал небольшую зону, непосредственно находящуюся у сосредоточенной силы.

М.7.3. Каковы граничные условия в задаче о сосредоточенной силе на полупространстве?

 

В месте приложения сосредоточенной силы, непосредственно совпадающем с началом координат (так проще решить задачу), действует эта сила, а во всех остальных точках границы никаких сил не действует. В точках, бесконечно удаленных от места приложения силы, напряжения должны стремиться к нулю.

М.7.4. Каким образом напряжение s R зависит от угла, радиуса, величины силы? Сколько координат участвует в решении этой задачи и какие?

 

Напряжениеs R является основным. Это напряжение пропорционально косинусу угла между радиусомвектором и вертикалью, обратно пропорционально квадрату радиуса и прямо пропорционально величине действующей силы. В решении этой задачи, вследствие имеющейся симметрии, участвуют две координаты - радиус и угол между ним и вертикалью.

 

 

М.7.5. Из каких условий определяется безразмерный коэффициент в формуле для s R в задаче о сосредоточенной силе на полупространстве?

 

Из условия равновесия при проектировании всех сил на вертикальную ось. Вырезается полусфера и на вертикальную ось проектируются все напряжения s R, умноженные на элементарные площадки (чтобы получить элементарные силы). Эти проекции должны уравновешиваться силой, действующей сверху вниз на полупространство (рис.М.7.5).

М.7.6. Как можно воспользоваться теорией размерностей для решения задачи о сосредоточенной силе?

 

Поскольку напряжение s R зависит от величины силы P, угла между вертикалью и радиусом q, а также радиуса R, то, учитывая, что напряжение должно быть пропорционально силе, она попадает в числитель. Далее выбирается тригонометрическая функция от угла q, четная, не зависящая от знака q, имеющая максимум при q =0 и равная нулю при q =± p /2. Такой простейшей функцией является cosq. Естественно, что этот множитель попадает также в числитель. Поскольку напряжение s R с увеличением расстояния от точки приложения силы должно убывать, то радиус R должен попасть в знаменатель. Однако для того, чтобы уравнять разномерности (слева H/м2, а справа, если R в знаменателе в первой степени, то Н/м, а если во второй степени, то H/м2), необходимо записать R в квадрате, откуда получим

 

Коэффициент A определяется в соответствии с ответом на вопрос М.7.5. и равен A=3/2p.

М.7.7. Как получить напряжение sz, зная напряжение s R?

 

Если известно s R, то из условия равновесия элемента мы имеем в данном случае s z=s Rcos2q.

М.7.8. Какой вид имеют эпюры напряжений szв задаче о сосредоточенной силе?

 

Эпюры напряжений s z изображены на рис.М.7.8.

 

Рис.М.7.8. Эпюры напряжений s z в полуплоскости и полупространстве по вертикальным и горизонтальному сечениям

 

М.7.9. Каким образом привести решение задачи о сосредоточенной силе для напряжения s z к удобной табличной форме?

 

Напряжение s z в координатах x,y,z имеет следующий вид:

 

Следует ввести обозначение, где r - проекция радиуса R на граничную плоскость z = 0, а затем ввести относительную координату r/z. Тогда получим

 

 

М.7.10*. Каким образом следует изменить решение о сосредоточенной силе, нормальной к границе полупространства, чтобы получить решение задачи о силе, действующей вдоль границы полупространства?

 

Для вертикальной силы P имеем

 

для горизонтальной силы Q имеем

 

Таким образом, в функции одно из z заменяется на x. Для наклонной силы следует учесть обе эти составляющие P и Q.

М.7.11. Как следует просуммировать напряжения, если действуют несколько сосредоточенных сил?

 

Если действуют несколько сосредоточенных сил, то для одной силы Pi, согласно ответу на вопрос М.7.9, имеем

 

При нескольких сосредоточенных силах получим

 

Коэффициенты Ki определяются каждый раз отдельно для своих значений ri/z, так как радиус для каждой силы свой.

М.7.12*. Как строится решение задачи для силы, приложенной на границе полуплоскости? Как соблюсти условие размерностей в этом случае?

 

В случае плоской задачи решение строится таким же образом, как и в пространственной задаче (см.вопрос М.7.9). В качестве аргументов используются: сосредоточенная сила P (в случае плоской задачи она имеет разномерность Н/м в отличие от пространственной, где размерность силы в H), угол между радиусом и вертикалью q и радиус r. Для того, чтобы левая и правая части имели одинаковые размерности, числитель следует разделить не на квадрат радиуса, как в пространственной задаче, а на радиус в первой степени. Следовательно, получим

 

 

М.7.13*. Как определяется безразмерный коэффициент A1 в формуле для s r (см.М.7.12) и в чем отличие в его определении по сравнению с пространственной задачей?

 

Безразмерный коэффициент A1 определяется из условия равновесия путем проектирования напряжений s r, умноженных на величину элементарной площадки, на вертикальную ось. В данном случае берется не полусфера, как в пространственной задаче, а полукольцо. Коэффициент после интегрирования оказывается равным A1=2/p, поэтому

 

 

М.7.14. Как выглядят эпюры напряжений при действии сосредоточенной силы в случае плоской задачи и чем они отличаются от эпюр пространственной задачи?

 

Эпюры напряжений в случае плоской задачи имеют тот же вид, что и в пространственной задаче, однако ординаты их другие. Напряжения в случае плоской задачи рассеиваются как бы медленнее, чем в случае пространственной задачи.

М.7.15. Какое условие накладывается на эпюры напряжений для выполнения условия равновесия?

 

Для выполнения условия равновесия необходимо, чтобы в случае пространственной задачи объем эпюры s z при заданной постоянной величине z равнялся бы действующей сосредоточенной силе.

 

В случае плоской задачи это условие сохраняется, однако оно упрощается, и поэтому площадь эпюры s z при постоянной величине z должна быть равна внешней нагрузке.