Править]Формула Д'АламбераРешение одномерного волнового уравнения (здесь — фазовая скорость) (функция соответствует вынуждающей внешней силе) с начальными условиями имеет вид Интересно заметить, что решение однородной задачи , имеющее следующий вид может быть представлено в виде где В таком случае говорят, что решение представлено в виде суммы бегущих волн, а функции и - это профили волн, бегущих, соответственно, влево и вправо. В рассматриваемом случае профили волн со временем не изменяются. В многомерном случае также решение задачи Коши может быть разложено в бегущие волны, однако уже не в сумму, а в интеграл, поскольку направлений становится бесконечно много. Это делается элементарно при помощи преобразования Фурье Продольные и поперечные волны. В физике мы имеем дело с волнами различной природы: механическими, электромагнитными и т.д. Несмотря на отличия, эти волны имеют много общих черт. Волны, рассматриваемый параметр которых (смещение молекул, механическое напряжение, и т.д.) изменяется периодически вдоль оси распространения, называются продольными волнами. Если колебания происходят перпендикулярно оси распространения волны (как у электромагнитных волн, например), то такие волны называются поперечными. Если взаимосвязь между частицами среды осуществляется силами упругости, возникающими вследствие деформации среды при передаче колебаний от одних частиц к другим, то волны называются упругими. К ним относятся звуковые, ультразвуковые, сейсмические и др. волны. На первой анимации изображён процесс распространения продольной упругой волны в решётке, состоящей из шариков, соединённых упругими пружинками. Каждый шарик колеблется по гармоническому закону в продольном направлении, совпадающем с направлением распространения волны. Амплитуда каждого шарика одинакова и равна A, а фаза колебаний линейно растёт с увеличением номера шарика на Dj т.е. x 0= A sin(w t); x 1= A sin(w t+ Dj); x 2= A sin(w t+ 2Dj); x 3= A sin(w t+ 3Dj); и т.д. где w -частота волны, t - время, Dj - изменение фазы от шарика к шарику В поперечной волне колебания происходят в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны. Как и в случае продольных волн амплитуды колебаний всех шариков одинаковы, а фаза линейно изменяется от шарика к шарику y 0= B sin(w t); y 1= B sin(w t+ Dj); y 2= B sin(w t+ 2Dj); y 3= B sin(w t+ 3Dj); и т.д. В общем виде уравнение распространения волны может быть записано в виде: z = A cos(w t - kx), где z - координата, по которой происходит движение частиц, x - координата оси, вдоль которой распространяется волна, k - волновое число, равноеw / v, v - скорость распространения волны. Зная частоту волны и скорость её распространения, мы можем найти сдвиг фаз между соседними шариками (частицами): Dj = (w / v)a, где a - расстояние между шариками в решётке.
Волновая поверхность, фронт волны, скорость распространения волн, длина волны, волновой вектор Фронт волны – геометрическое место точек, до которых к данному моменту дошли колебания. Волновая поверхность – геометрическое место точек, в которых фаза колебаний имеет одно и тоже значение.
|