Необходимые и достаточные условия периодичности.Рассмотрим систему:
(2.1) Сначала мы не будем делать никаких предположений о природе коэффициентов , кроме предположения об их периодичности по . Пусть и ─ решение системы (2.1), удовлетворяющее следующим данным Коши: , . Для того чтобы это решение было периодическим с периодом , необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяющее следующим условиям: , . (2.2) Очевидно, что условия (2.2) необходимы, так как функция называется периодической, если она удовлетворяет условиям: , (2.3) каково бы не было . Условия (2.2) являются частным случаем (2.3) при . Эти условия являются так же достаточными. В самом деле, правые части системы (2.1) ─ периодические функции времени периода и, следовательно, они инвариантны относительно замены переменного , тогда в силу (2.2) по и мы будем иметь одну и ту же задачу Коши и, следовательно, ; или ; . Так как это равенство справедливо для любых , то оно совпадает с (2.3) и, следовательно, функции и ─ периодические. Предположим далее, что система фундаментальных решений системы: (2.4) нам известна. Обозначим эти функции через , , и , и решение системы (2.1) будем искать методом вариации произвольных постоянных, полагая , . (2.5) где и ─ некоторые функции времени, подлежащие определению. Подставим выражения (2.5) в (2.1). Принимая во внимание, что функции , , и удовлетворяют системе (2.4), мы получим следующие уравнения для определения функций и ; , , откуда (2.6) где и ─ новые произвольные постоянные, а ─ определитель Вронского . Постоянные и определяются из начальных условий , при . Так как интегральные слагаемые в выражениях (2.6) при обращается в нуль, то постоянные и определяются из уравнений (2.7) Используя полученные выражения, выпишем теперь условия периодичности (2.2) (2.8) Для того чтобы система (2.1) допускала периодические решения, необходимо и достаточно, чтобы функции и удовлетворяли условиям (2.8). Рассмотрим эти условия для некоторых специальных случаев, так как это будет играть в дальнейшем изложении особую роль. Сначала рассмотрим тот частный случай, когда фундаментальные решения - периодические функции, Заметим, что уравнения в вариациях, отвечающие изохорным системам, т. е. системам, период колебаний которых не зависит от начальных условий, всегда имеют периодические решения. Так как C и D – постоянные числа, то в силу периодичности функции и из (2.7), мы получаем следующие условия: (2.7’) Равенства (2.7’) позволяют упростить систему (2.8), которую можно теперь рассматривать как систему однородных алгебраических уравнений относительно интегралов . Перепишем эту систему в следующем виде: (2.9) Определитель системы (2.9) есть определитель Вронского для функций . В силу независимости этих функций он отличен от нуля. Таким образом, система (2.9) имеет только тривиальное решение. Поэтому (2.10) Итак, мы пришли к следующему результату: если фундаментальное решение системы (2.4) выражается периодическими функциями, то для того, чтобы любое решение системы (2.1) было периодическим необходимо и достаточно, чтобы функции и удовлетворяли условиям (2.10). Сейчас рассмотрим тот частный случай, когда система (2.1) имеет вид (2.11) Система (2.11) сводится к уравнению колебаний математического маятника под действием периодической внешней силы где Линейно независимые решения системы (2.11) имеют вид (2.12) Определитель Вронского этих функций равен единице, поэтому условия (2.10) будут приведены к такому виду: (2.13)
Раздел 3. Метод Ляпунова.
|