Студопедия — Решение. При исследовании функции методами дифференциального исчисления необходимо:
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Решение. При исследовании функции методами дифференциального исчисления необходимо:






При исследовании функции методами дифференциального исчисления необходимо:

а) найти область определения функции;

б) исследовать функцию на непрерывность;

в) найти точки пересеченияи графика функции с осями координат;

г) определить интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума;

д) найти интервалы выпуклости, и вогнутости функции и точки перегиба графика функции.

 

а) Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел.

б) Данная функция является элементарной,.поэтому она непрерывна -в на своей области определения, то есть на интер­вале (—;).

в) Для нахождения точки пересечения графика функции с осью Оу подставим -в уравнение функции х x= 0. Тогда у = 5. Значит, график функции пересечет ось Оу в точке А(0; 5).

Для определения точки пересечения исследуемой кривой с осью Ох следует решить уравнение 1/3 x3-x2 3x+5 = 0. Из-за отсутствия целочисленных корней этого уравнения его реше­ние громоздко (оно может быть найдено, например, по фор­мулам Кардано) и не приводится здесь.

 

г) Для (нахождения интервалов возрастания и убывания функции определим интервалы знакопостоянства ее первой производной.

 

 

- точки, подозрительные на экстремум.

y1 = x2 – 2x – 3

 

Корнями производной являются х1 = — 1, х2 = 3 (критические точки первого рода). Промежутки знакопостоянства произ­водной у' определяем, как и в предыдущей задаче, методом интервалов. (рис. 5).

 
 


-1
 
+ _ + Рис.5

Данная функции возрастает на интервалах (—; —1) и (3; ) (здесь производная у' положительна) и убывает на интервале (—-1; 3) (здесь у'<0).

 

Для исследования критических точек х1 =— 1 и х2 = 3 на экстремум воспользуемся первым достаточным признаком эк­стремума функции: если функция f(х) дифференцируема в точке и ее окрестности и ее производная слева от этой точки положительна (отрицательна), а справа — отри­цательна (положительна), то в точке функция f(х) имеет максимум (минимум).

 

При переходе через точку х1 = — 1 производная у' меняет свой знак с (плюса на1 минус, поэтому в этой точке функция имеет максимум

Ymax = y(-1) = 6 2/3

ЗЗначит, В (-1; 6 2/3) – точка максимума.

Так как при переходе через точку х2= 3 производная у' меняет свой знак с 'минуса на плюс,

то С(3; -—4) - —точка минимума.

 

д) Для определения интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции используем следующие достаточные признаки: если вторая производная дважды дифференцируемой функции f(х) положительна (отрицатель­на) в каждой точке интервала (а; b), то на этом интервале график функции f(x) является вогнутым (выпуклым);

если x0  (а; Ь) и либо не существует и при /пере­ходе через точку вторая производная меняет свой знак, то - точка перегиба кривой у = f(х).

Найдем вторую производную данной функции:

– точка, подозрительная на перегиб.

- +

           
   
 
     
 

 


На интер­вале вторая производная отрицательна, поэтому гра­фик функции на этом интервале является выпуклой кривой;

На интер­вале вторая производная положительна, поэтому график функции вогнут на этом интервале.

Так как при переходе через точку х=1 вторая производная меняет свой знак, то х=1 есть абсцисса точки перегиба.

- точка перегиба кривой.

Результаты исследований приведены в таблице 3.

x -1 (-1;1)   (1;3)  
y Возрастает выпукла max Убывает выпукла Перегиб Убывает вогнута min Возрастает вогнута
+   - - -   +
- - -   + + +

График функции изображен на рис. 2.

рис. 2

Вопросы для самопроверки

 

1. Сформулируйте теоремы Ролля, Лагранжа. Каков их геометрический смысл?

2. Какая функция называется возрастающей? убывающей?

3. Сформулируйте достаточные признаки возрастания и убывания функции.

4. Какие точки называют критическими точками функции?

5. Назовите достаточные признаки экстремума функции.

6. Какая кривая называется выпуклой? (вогнутой?)

7. Как найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой?

8. Что называется точкой перегиба кривой?

9. Сформулируйте достаточный признак существования точки перегиба кривой.

10. Назовите схему исследования функции и построения ее графика.







Дата добавления: 2015-08-11; просмотров: 613. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

САНИТАРНО-МИКРОБИОЛОГИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВОДЫ, ВОЗДУХА И ПОЧВЫ Цель занятия.Ознакомить студентов с основными методами и показателями...

Меры безопасности при обращении с оружием и боеприпасами 64. Получение (сдача) оружия и боеприпасов для проведения стрельб осуществляется в установленном порядке[1]. 65. Безопасность при проведении стрельб обеспечивается...

Весы настольные циферблатные Весы настольные циферблатные РН-10Ц13 (рис.3.1) выпускаются с наибольшими пределами взвешивания 2...

Тема: Изучение приспособленности организмов к среде обитания Цель:выяснить механизм образования приспособлений к среде обитания и их относительный характер, сделать вывод о том, что приспособленность – результат действия естественного отбора...

Тема: Изучение фенотипов местных сортов растений Цель: расширить знания о задачах современной селекции. Оборудование:пакетики семян различных сортов томатов...

Тема: Составление цепи питания Цель: расширить знания о биотических факторах среды. Оборудование:гербарные растения...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия