Приклади. 1. Знайти координати вектора , якщо (-1,2,3), (2,1,4).Розв’язання. За формулою (1) маємо
Приклад 2. Початок вектора Розв’язання. Відповідно до формули (1) для вектора (3,1,-5) = Враховуючи властивість 3о із 2.4 запишемо
Таким чином знаходимо точку N(1,8,-4). Приклад 3. Упевнитись, що система векторів Розв’язання. Згідно означення (див. 2.4) вектори Перевіримо це, скориставшись властивостями 1о-3о із 2.4:
Прирівнюючи відповідні координати, отримуємо систему:
Визначник цієї системи
Всі допоміжні визначники Звернемо увагу, що елементи стовпців визначника Висновок. Якщо визначник, утворений з координат векторів Тепер знайдемо координати вектора
Повторюючи попередні перетворення маємо
Прирівнюючи відповідні координати у лівій і правій частинах рівності, отримаємо систему, яку зручніше розв¢язати алгебраїчним додаванням:
  
Із Таким чином, при
|
=(2-(-1),1-2,4-3)=(3,-1,1).
збігається з точкою 
. Знайти точку 
, з якою збігається кінець вектора 
.
маємо
.
,
, 
.
утворює базис, та знайти координати вектора 
, 
, 
, 
.
утворюють базис, якщо вони лінійно незалежні, тобто їх лінійна комбінація 
(де 
), тільки тоді, коли 
.
бо в кожному з них є нульовий стовпець із вільних членів однорідної системи. Отже, згідно формул Крамера 
і, таким чином, вектори 
- лінійно незалежні, а, значить, утворюють новий базис.
збігаються з відповідними координатами векторів 
у базисі 
такі, що виконується рівність
.
отримаємо 
.
