Определение определенного интеграла

a

b

Рис. 1 Криволинейная трапеция

Пусть функция определена на отрезке и неотрицательна. Фигура, заданная неравенствами называется криволинейной трапецией (см. рис. 1). Вычислим площадь криволинейной трапеции. Идея вычисления состоит в том, чтобы нарезать эту трапецию на узенькие вертикальные полоски, площадь каждой полоски считать как площадь прямоугольника, а затем сложить получившиеся результаты. Мы получим приближенный ответ. Для получения точного ответа надо брать полоски все уже и уже и перейти к пределу, когда максимальная ширина полоски стремится к нулю. Вычислим таким образом площадь под экспонентой , если . Возьмём равномерное разбиение отрезка [a,b]:

;

Тогда заменяя каждую полоску на прямоугольник с высотой равной значению экспоненты в левом конце основания полоски, получим суммарную площадь всех полосок, очевидно превосходящую площадь криволинейной трапеции под экспонентой:

Здесь использована формула суммы геометрической прогрессии, а также эквивалентность бесконечно малых при . Так как функция e^x непрерывна, то доказано, что S=e^b-e^a.

Пример. Вычислим площадь под параболой на отрезке (). Возьмем разбиение вида (1) этого отрезка, а отмеченные точки выберем так:

Ясно, что , ибо , что в свою очередь эквивалентно

Тогда интегральная сумма вычисляется просто:

и предел этих интегральных сумм как предел константы равен . Это и есть площадь под параболой .

Перейдем к точным определениям. Разбиением отрезка называется семейство точек таких, что

Параметром разбиения (обозначим его ) называется наибольшее из приращений когда индекс пробегает от 1 до n. Пусть - функция, определенная на отрезке и - какие-либо точки из отрезков которые назовем отмеченными. Тогда

называется интегральной суммой.

Определение. Определённым интегралом функции на отрезке называется предел интегральных сумм, если параметр разбиения стремиться к нулю:

Это значит, что определенный интеграл есть такое число , что для любого сколь угодно малого найдется такое (зависящее от ), что для любого разбиения (1) с параметром интегральная сумма отличается от меньше чем на :

Функция называется подинтегральной, называется подинтегральным выражением. Число называется нижним пределом интегрирования, а – верхним пределом интегрирования.

Распространим понятие интеграла на случай отрезка, вырождающегося в точку, полагая по определению . Распространим понятие интеграла также на тот случай, когда нижний предел больше верхнего; считаем по определению

Так как предел не всегда существует, то и определенный интеграл на отрезке существует не от любой функции. Необходимым условием существования интеграла является ограниченность функции на отрезке . Действительно, если функция неограничена, например, сверху, то при любом разбиении, каков бы ни был малый его параметр, найдутся отмеченные точки такие, что интегральная сумма (2) больше чем любая наперед заданная величина. Следовательно, конечного предела интегральные суммы иметь не могут.

Основываясь на вычислении площади под параболой , мы можем вычислить интеграл от многочлена, не прибегая к формуле Ньютона-Лейбница:

 

Критерий Коши интегрируемости функции. Ограниченная функция на отрезке интегрируема в том и только том случае, когда для любого 𝜺>0 найдется δ>0, что при любых двух разбиениях вида (1) с параметрами интегральные суммы различаются (по модулю) менее чем на 𝜺.

??? Док-во

Функцию , заданную на отрезке , для которой предел (3) существует, назовем интегрируемой (по Риману) на этом отрезке. Пространство интегрируемых функций на отрезке обозначим .

2 Свойства определённого интеграла

Перейдем к изучению простейших свойств определенного интеграла.

Свойство линейности. Сумма интегрируемых функций есть интегрируемая функция и произведение интегрируемой функции на число есть также интегрируемая функция. Более того, если интегрируемы, то для любых чисел линейная комбинация также интегрируема на отрезке и

Равенство (4) эквивалентно двум правилам: 1) интеграл от суммы функций равен сумме интегралов и 2) постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Это свойство следует из соответствующих свойств предела – предел суммы равен сумме пределов и постоянный множитель можно вносить за знак предела.

Изменение ориентации. Равенство справедливо вне зависимости от расположения точек и на числовой прямой.

Не чувствительность интеграла к изменению значений подинтегральной функции в конечном числе точек:на существование и на значение определенного интеграла не влияет изменение значения функции в конечном числе точек.

Действительно, рассмотрим функцию равную нулю всюду за исключением точки , в которой эта функция равна единице. Пусть . Интегральная сумма этой функции равна либо 0, либо (если совпадает с одной из отмеченных точек). Следовательно, эта интегральная сумма стремиться к нулю при Иными словами, . Теперь заметим, что для замены значения функции в точке с на нужно образовать линейную комбинацию . Если интегрируема на отрезке , то и эта линейная комбинация интегрируема, и значение интеграла не меняется в силу (4).

Из возможности изменения значения функции в одной точки следует возможность изменения значений функции в конечном числе точек.

Аддитивность интеграла. Пусть . Тогда функция интегрируема на отрезке в том и только том случае, когда она интегрируема на и на . В этом случае

Если точки расположены произвольно на числовой прямой и каждый из интегралов в (5) существует, то равенство (5) имеет место.

Доказательство. Обозначим , предполагая, что эти интегралы существуют. По доказанному выше функция ограничена на отрезках и , а, значит, ограничена и на отрезке Пусть для любого Выберем . Интегральные суммы функции на отрезках и обозначим и соответственно. Найдем такое, что

если параметры соответствующих разбиений меньше . Если надо, уменьшим так, чтобы выполнялось неравенство Рассмотрим теперь произвольное разбиение (1) отрезка с параметром меньшим чем , и обозначим интегральную сумму для этого разбиения с произвольно взятыми отмеченными точками как . Добавим к разбиению (1) точку , если ни для какого . От этого параметр разбиения не увеличится. Добавим также еще одну отмеченную точку. Тогда интегральная сумма изменится самое большее на величину , но эту новую интегральную сумму можно будет разбить на две интегральные суммы и на отрезках и , которые удовлетворяют неравенствам (6). Тогда

По определению предела получаем, что Тем самым .

Наоборот, пусть и . Докажем, что функция интегрируема на подотрезке . Понадобиться критерий Коши. Обозначим Для заданного найдем такой, что , как только параметр разбиения меньше чем Рассмотрим два разбиения отрезка с параметрами меньшими и пусть и – соответствующие им две интегральные суммы. Продолжим рассматриваемые разбиения и интегральные суммы на весь отрезок с условием совпадения их и отмеченных точек на отрезке , а также сохранением неравенства Продолжения обозначим и . Тогда

Мы проверили условия критерия Коши. Согласно этому критерию получаем, что существует предел интегральных сумм при . Аналогично, . По доказанному выше, получаем равенство (5).

Рассмотрим случай расположения точек . Тогда по условию и доказанному выше имеет место равенство . Перенося в левую часть и заменяя на получаем , что совпадает с (5). Аналогично разбираются другие случаи расположения точек .

Аддитивность интеграла полностью доказана. □

Монотонность интеграла. Если для всех и , то
.

Действительно, в этом случае и переходя к пределу в этом неравенстве (см. раздел «Предел и непрерывность»), получаем искомое соотношение между интегралами.

Интеграл от единицы. Как следующее свойство отметим одно простое равенство, вытекающее из определения определенного интеграла:

Оценка интеграла. Если на отрезке и , то

Действительно, Здесь мы последовательно применили монотонность интеграла, его линейность и равенство (6). Аналогично доказывается первое из неравенств в (7).

Например, на отрезке , что следует из монотонности функции а значит и функции . Отсюда,

Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке , то найдётся точка такая, что

Величина называется интегральным средним функции на отрезке .

Доказательство. По теореме Вейерштрасса, функция на отрезке достигает своего наибольшего значения ) и наименьшего значения . Здесь -- некоторые точки отрезка . Применяя оценку интеграла (7), выводим

Интегральное среднее оказывается промежуточным значением между наименьшим и наибольшим значениями. Применим теорему Больцано-Коши о промежуточном значении к непрерывной функции и найдем точку между и (значит ) такую, что .□

Пример. Пусть

Тогда интегральное среднее функции (9) на отрезке равно

Однако точки такой, что нет. Причина этого – разрыв функции в точке 1.