Теорема сравнения. Пусть 1) если 2) если Доказательство. 1) Если 2) следует из 1) в силу логического принципа: импликация Следствие. Пусть функции Аналогичное утверждение имеет место для полуинтервала (c,b].
Предложение об "эталонных" интегралах. Пусть a>0. 1. Интеграл 2. Интеграл Доказательство. 1. Если Если Аналогично, прямыми вычислениями доказывает второе утверждение.
|
на интервале 
. Тогда
сходится, то 
сходится;
расходится, то 
. Криволинейная трапеция под графиком функции 
содержится в Т, следовательно и у нее площадь также конечна. Тем самым интеграл 
эквивалентна импликации 
(черта сверху – отрицание утверждения). Более подробно: если бы интеграл 
кусочно непрерывны и имеют неотрицательные значения на полуинтервале 
. Предположим, что существует предел 
причём он отличен от 0. Тогда интегралы 
и 
ведут себя одинаково в смысле сходимости, т.е. либо оба сходятся, либо оба расходятся.
сходится тогда и только тогда, когда p>1.
сходится тогда и только тогда, когда p<1.
, то первообразная 
подинтегральной функции 
имеет конечный предел 0 при 
. По формуле Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов, получаем, что интеграл 
.
, то первообразной подинтегральной функции служит 
, который не имеет конечного предела на 
. Для 
то же самое можно сказать о первообразной 
.
