Интегралы, зависящие от параметраИнтеграл вида называется интегралом, зависящий от параметра a. В общем случае нижний и верхний пределы также могут зависеть от параметра a: a=a(a), b=b(a). Теорема Лейбница дифференцирования по параметру. Пусть определены и непрерывны при a≤ x≤ b, c≤ a ≤ d. Тогда для любого a ∈ (c,d). Доказательство. Применим теорему Лагранжа: Здесь 0<θ <1 - зависит от , а -- бесконечно малая величина при Δa → 0. Тогда Лемма. Пусть . Тогда -- бесконечно малая величина при Δa → 0. Доказательство леммы. Фиксируем положительное число δ. Для каждого найдем такое, что для всех пар таких, что Пользуемся здесь тем, что . Окрестности покрывают отрезок [a,b]. Выберем из них конечную систему с центрами в точках (см. раздел «Введение в анализ»). Тогда для выполняется неравенство при любом и любом . Действительно, принадлежит одной из окрестностей , а поэтому для пары выполняется (4) при . Следовательно, при любом . Это и завершает доказательство леммы. Продолжим доказательство теоремы. Так как при по лемме, то, переходя к пределу Δa → 0 в равенстве (3), получаем результат.□ Следствие. Общая формула дифференцирования по параметру: Пример. Обозначим . Тогда , откуда . Замена сводит этот интеграл к интегралу вида . Полагая здесь , получаем Интеграл Дирихле:
|