История золотого сечения интересна и увлека-
тельна. Она еще раз подтверждает, что тайны
природы скрыты и ревниво ею охраняются. Тайна
золотого сечения — не исключение.
В 1911 г. французский художник Анри Матисс
(1869—1954) посетил Россию. В Москве он увидел
старинные русские иконы. «Русские и не подозре-
вают, какими художественными богатствами они
владеют... Ваша учащаяся молодежь имеет здесь,
у себя дома, несравненно лучшие образцы искус-
ства..., чем за границей. Французские художники
должны ездить учиться в Россию: Италия в этой
области дает меньше»,— писал художник позже 1.
Много лет спустя Матисс вспоминал, как «тро-
нуло» его древнерусское искусство и какое воздей-
ствие оказало на его творчество: «Ему предаешься
тем сильнее, чем яснее видишь, что его достижения
подкреплены традицией — традицией древней» 2.
Матисс, несомненно, имел в виду традиции искус-
ства Греции классической поры. Он увидел, что
Русь через Византию унаследовала живую тра-
дицию античного искусства и в своих исторических
и национальных условиях продолжала ее. Пока
Италия возрождала античность, пытаясь из облом-
ков и развалин составить цельное представление
о древности, искусство живописи и архитектуры
на Руси достигло больших высот.
Приехав в Советский Союз, американский ху-
дожник Антон Рефрежье восторженно восприни-
мает сохранившиеся росписи, выполненные древне-
русскими художниками. «Я смотрю на величест-
венные росписи древнерусских храмов, и меня
снова и снова потрясает глубина гуманизма искус-
ства, которое поднялось над церковной догмой до
уровня выражения эмоционального духа народа.
И я с изумлением смотрю на построение компози-
ции, на пропорции фризов на стенах. Здесь также
мы можем учиться знанию закона динамической
симметрии, абсолютной вере художников в эти
законы, раскрытые древними греками и подтвер-
жденные во все великие периоды архитектуры и
живописи»,— писал он в статье «На языке, понят-
ном массам», опубликованной в газете «Советская
культура» 21 мая 1974 г. В той же статье Антон
1 Матисс А. Сборник статей о творчестве.— М, 1958.—
С. 99.
2 Там же.—С. 104.
Рефрежье отмечает достоинства творений худож-
ников эпохи Возрождения: «Я бы назвал два таких
качества — глубокий гуманизм (это содержание) и
ответственное, уважительное отношение к специфи-
ке настенной живописи, знание геометрии, динами-
ческой симметрии, правил «золотой середины» (это
форма)... Художник, не будучи осведомленным в
геометрии, в законе динамической симметрии,
самое большее, что может сделать, это располо-
жить все в определенном порядке, иначе — создать
коллаж». Такая высокая оценка золотого сечения
и его проявления в русском искусстве, безусловно,
побуждает нас к изучению этого феномена.
Принято считать, что понятие о золотом деле-
нии ввел в научный обиход Пифагор, древнегрече-
ский философ и математик (VI в. до н. э.). Есть
предположение, что Пифагор свое знание золотого
деления позаимствовал у египтян и вавилонян.
И действительно, пропорции пирамиды Хеопса,
храмов, барельефов, предметов быта и украшений
из гробницы Тутанхамоиа свидетельствуют, что
египетские мастера пользовались соотношениями
золотого деления при их создании. Французский
архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из
храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе,
изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур
соответствуют величинам золотого деления. Зодчий
Хесира, изображенный на рельефе деревянной дос-
ки из гробницы его имени, держит в руках измери-
тельные инструменты, в которых зафиксированы
пропорции золотого деления. Ранее уже упомина-
лась плита фараона Нармера (рис. 22), построен-
ная в пропорциях золотого деления.
Греки были искусными геометрами. Даже ариф-
метике обучали своих детей при помощи геомет-
рических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ
этого квадрата были основанием для построения
динамических прямоугольников (рис. 23, а).
Платон (427—347 гг. до н. э.) также знал о
золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен
математическим и эстетическим воззрениям школы
Пифагора и, в частности, вопросам золотого де-
ления.
В фасаде древнегреческого храма Парфенона
присутствуют золотые пропорции. При его раскоп-
ках обнаружены циркули, которыми пользовались
архитекторы и скульпторы античного мира. В Пом-
пейском циркуле (музей в Неаполе) также зало-
жены пропорции золотого деления (рис. 23, б).
В дошедшей до нас античной литературе золо-
Рис. 23.
Динамические прямоугольники (а) и античный циркуль золо-
того сечения (б)
тое деление впервые упоминается в «Началах»
Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометри-
ческое построение золотого деления. После Евкли-
да исследованием золотого деления занимались
Гипсикл (IIв. до н. э.), Папп (III в. н. э.) и др.
В средневековой Европе с золотым делением по-
знакомились по арабским переводам «Начал»
Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры
(IIIв.) сделал к переводу комментарии. Секреты
золотого деления ревностно оберегались, хранились
в строгой тайне. Онибыли известны только по-
священным.
В историю золотого сечения косвенным образом
вплетено имяитальянского математика монаха
Леонардо из Пизы, более известного под именем
Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал
по Востоку, познакомил Европу с индийскими
(арабскими) цифрами. В 1202 г. вышел в свет его
математический труд «Книга об абаке» (счетной
доске), в котором были собраны все известные на
то время задачи. Одна из задач гласила: «Сколько
пар кроликов в один год от одной пары родится?»
Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил
такой ряд цифр:
| Месяцы
|
|
|
|
|
|
| и т.д.
|
| Пары кроликов
|
|
|
|
|
|
| и т. д.
|
Ряд цифр 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т. д.
стал известен в наука как ряд Фибоначчи. Его
особенность состоит в том, что каждый его член,
начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих:
2 + 3=5; 3+5 = 8; 5 + 8=13; 8+13 = 21; 13+21 = 34
и т. д., а отношение чисел ряда все больше и
больше приближается к отношению золотого деле-
ния. Так, 21: 34 = 0,617, а 34:55 = 0,618. Это отно-
шение обозначается символом Ф. Только это отно-
шение— 0,618:0,382 — дает непрерывное деление
отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение
его или уменьшение до бесконечности, когда
меньший отрезок так относится к большему, как
больший ко всему. Ряд Фибоначчи мог бы остаться
только математическим казусом (случаем), если бы
не то обстоятельство, что все исследователи золо-
того деления в растительном мире, а также и в
животном, не говоря уже об искусстве, неизменно
приходили к этому ряду как арифметическому вы-
ражению закона золотого деления.
В эпоху Возрождения усиливается интерес к
золотому делению среди ученых и художников
в связи с его применением как в геометрии, так
и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да
Винчи, художник и ученый, видел, что у итальян-
ских художников эмпирический опыт большой,
а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу
по геометрии, но в это время появилась книга
монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою
затею. По мнению современников и историков
науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, ве-
личайшим математиком Италии в период между
Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учени-
ком художника Пьеро делла Франчески, написав-
шего две книги, одна из которых называлась
«О перспективе в живописи». Его называют твор-
цом начертательной геометрии.
Лука Пачоли прекрасно понимал значение на-
уки для искусства. В 1496 г. по приглашению гер-
цога Моро он приезжает в Милан, где читает
лекции по математике. В Милане при дворе Моро
в то время работал и Леонардо да Винчи. Они
стали друзьями. В 1509 г. в Венеции была издана
книга Луки Пачоли «Божественная пропорция»
с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду
чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи.
Книга была восторженным гимном золотой про-
порции. Среди многих достоинств золотой пропор-
ции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее
«божественную суть» как выражение божествен-
ного триединства: бог сын, бог отец и бог дух
святой (подразумевалось, что малый отрезок есть
олицетворение бога сына, больший отрезок — бога
отца, а весь отрезок — бога духа святого). На зо-
лотую пропорцию был наброшен мистический по-
кров.
Леонардо да Винчи также много внимания
уделял изучению золотого деления. Он производил
сечения стереометрического тела, образованного
правильными пятиугольниками, и каждый раз по-
лучал прямоугольники с отношениями сторон в
золотом делении. Поэтому он дал этому делению
название золотое сечение. Так оно и держится
в науке до сих пор как самое популярное.
Характерно, что в то же время на севере Евро-
пы, в Германии, над теми же проблемами трудил-
ся Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения
к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер
пишет: «...Необходимо, чтобы тот, кто что-либо
умеет, обучил этому других, которые в этом
нуждаются. Это я и вознамерился сделать» '.
Дюрер сетует, что секреты древних утеряны,
что отцы церкви не должны так яростно уничто-
жать все, что осталось от древних. Судя по одному
из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли
во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер
подробно разрабатывает теорию пропорций чело-
веческого тела. Важное место в своей системе со-
отношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост
человека делится в золотых пропорциях линией
пояса, а также линией, проведенной через кончики
средних пальцев опущенных рук, нижняя часть
лица — ртом и т. д. Известен пропорциональный
циркуль Дюрера.
Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал
золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он
первый обращает внимание на значение золотой
пропорции для ботаники (рост растений и их строе-
ние).
1 Дюрер А. Дневники, письма, трактаты.— Л.; М., 1957.—
Т. 2.- С. 37,
В последующие века правило золотой пропор-
ции превратилось в академический канон и, когда
со временем в искусстве началась борьба с акаде-
мической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой
выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое
сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий
исследователь золотого сечения профессор Цейзинг
опубликовал свой труд «Эстетические исследова-
ния». С Цейзингом произошло именно то, что и
должно было неминуемо произойти с исследовате-
лем, который рассматривает явление как таковое,
без связи с другими явлениями. Он абсолютизиро-
вал пропорцию золотого сечения, объявив ее
универсальной для всех явлений природы и искус-
ства. У Цейзинга были многочисленные последова-
тели, но были и противники, которые объявили его
учение о пропорциях «математической эстетикой».
Цейзинг проделал колоссальную работу. Он
измерил около двух тысяч человеческих тел и
пришел к выводу, что золотое сечение выражает
средний статистический закон. Деление тела точ-
кой пупа — важнейший показатель золотого сече-
ния. Пропорции мужского тела колеблются в пре-
делах среднего отношения 13: 8=1,625 и несколько
ближе подходят к золотому сечению, чем пропор-
ции женского тела, в отношении которого среднее
значение пропорции выражается в соотношении
8:5=1,6. У новорожденного пропорция составляет
отношение 1:1, к 13 годам она равна 1,6,
а к 21 году равняется мужской. Пропорции золо-
того сечения проявляются и в отношении других
частей тела — длина плеча, предплечья и кисти,
кисти и пальцев и т. д.
Верность своей теории Цейзинг проверял на
греческих статуях. Наиболее подробно он разра-
ботал пропорции Аполлона Бельведерского. Под-
верглись исследованию греческие вазы, архитектур-
ные сооружения различных эпох, растения, живот-
ные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные
размеры. Цейзинг дал определение золотому сече-
нию, показал, как оно выражается в отрезках
прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие
длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел,
что они составляют ряд Фибоначчи, который можно
продолжать до бесконечности в одну и в другую
сторону. Следующая его книга имела название
«Золотое деление как основной морфологический
закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России
была издана небольшая книжка, почти брошюра,
с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрыл-
ся под инициалами Ю. Ф. В. Характерно, что в
этом издании не упомянуто ни одно произведение
живописи.
В конце XIX — начале XX вв. появилось немало
чисто формалистических теорий о применении зо-
лотого сечения в произведениях искусства и архи-
тектуры. С развитием дизайна и технической
эстетики действие закона золотого сечения распро-
странилось на конструирование машин, мебели
и т. д.
Анархия капиталистического производства при-
вела в XX в. к тому, что продукция, изготовленная
одним предприятием, сильно отличалась от анало-
гичной продукции других предприятий. При пере-
возке такой продукции нередко оказывалось, что
она не соответствует размерам транспортных
средств. Такое же положение наблюдалось и в
строительном деле.
Французский архитектор Ле Корбюзье (1887—
1965) разрабатывает единую систему величин. За
основу был взят средний рост человека, равный
175 см. Была построена шкала золотого сечения,
которая и дала необходимые размеры. Эту шкалу
Ле Корбюзье назвал модулором. Пользуясь своим
«модулором», Ле Корбюзье строил отдельные зда-
ния и целые комплексы сооружений.
На девятой выставке «Триеннале» в Милане
в 1951 г. три дня были посвящены золотому сече-
нию. В эти дни было проведено первое междуна-
родное совещание на тему пропорций в искусстве,
а выставка «Триеннале» 1954 г. была полностью
посвящена «божественной пропорции» и явилась
восхвалением золотого сечения — «древнейшей
тропы человечества, указанной Пифагором» (Ле
Корбюзье). К сожалению, речь там шла в основ-
ном об архитектуре.
Следует упомянуть заслуги Г. Б. Борисовского.
В книге «Наука. Техника. Искусство» (М., 1969)
автор отдает должное золотому сечению, но ука-
зывает на его слабую сторону: золотое сечение
характеризует только количественные отношения.
Он приводит слова Жолтовского о колбасе (ска-
занные в шутку), что если разрезать тухлую кол-
басу в золотом сечении, то она не станет вкуснее.
Отношения, свойственные золотой пропорции, вы-
раженные арифметически или геометрически, дей-
ствительно определяют только количественные
отношения. Но эти же отношения, воплотившиеся
в живых формах листьев, цветов, животных, до-
ставляют нам эстетическое удовлетворение, ра-
дость, мы наслаждаемся красотой формы. Тем
более они приятны нам в произведениях рук чело-
веческих: зданиях, статуях, картинах, коврах,
вазах и т. д., которые мы пробуем не на вкус,
а смотрим на них глазами.
В нашей стране в довоенные годы были изданы
книги о золотом сечении в архитектуре: Н. Вру-
нов. Пропорции античной и средневековой архитек-
туры.— М., 1935; Г. Д. Гримм. Пропорциональность
в архитектуре.— Л.; М., 1935. Осуществлялись
переводные издания: Г. Е. Тимердинг. Золотое
сечение.— М., 1924; М. Гика. Эстетика пропорций
в природе и искусстве.— М., 1936; Д. Хэмбидж.
Динамическая симметрия в архитектуре.— М.,
1936. И в этих книгах проявление закона золотого
сечения в живописи не затрагивалось.
В редакционном примечании к книге М. Гика
«Эстетика пропорций в природе и искусстве» ука-
зывается, что многие ученые, занимавшиеся золо-
тым сечением, не идут дальше простой констата-
ции факта: «Между тем, задача заключается в том,
чтобы объяснить его причины. Такую попытку
делает советский исследователь Ф. И. Зубарев,
работы которого о золотом сечении подготовляются
сейчас к печати» '. Неизвестно, были опубликованы
работы Ф. Зубарева или нет.
В послевоенные годы заметно расширение и
углубление внимания ученых различных специаль-
ностей к проблеме золотого сечения. В 1974 г.
И. И. Шафрановский публикует работу «Динами-
ческая симметрия в кристаллографии, минералогии,
петрографии и органическом мире» (Записки Ле-
нингр. горн, ин-та им. Г. В. Плеханова.— Т. XII,
вып. 2). В 1977 г. напечатана книга А. П. Стахова
«Введение в алгоритмическую теорию измерения»,
а в 1979 г.— его же «Алгоритмическая теория изме-
рения» (М., Знание), в которых изложено приме-
нение чисел ряда Фибоначчи и золотой пропорции
для улучшения работы аналого-цифровых преобра-
зователей. В 1979 г. И. Шмелев в журнале «Архи-
тектура СССР» публикует статью «Канон. Ритм,
пропорция, гармония» (№ 2), в которой излагает
дальнейшее развитие идеи «модулора» Ле Кор-
бюзье, что позволило ему раскрыть механизм гар-
монии ритмических взаимосвязей в пропорциях
мужского и женского тела, их динамическую до-
полнительность по отношению друг к другу, что
снимает недоверие к золотому сечению на том
1 Гика М. Эстетика пропорций в природе и искусстве.—
М., 1936.—С. 301.
Рис. 24.
Второе золотое сечение:
а — геометрическое построение; 6 —линия второго золотого сечения на
картине
основании, что пропорции тела женщины не соот-
ветствуют золотым.
Особый интерес представляет статья М. А. Ма-
рутаева «О гармонии как закономерности» в сбор-
нике «Принцип симметрии» (М., 1978). Он отме-
чает, что в современной науке существуют три
проблемы: 1) природа золотого сечения, 2) загадка
числа 137 и 3) природа приблизительной симмет-
рии, которая относится к живой природе, искусству,
а в последнее время и к физике. Далее он пока-
зывает, что все три проблемы представляют собой
одну проблему: нарушенная симметрия (приблизи-
тельная симметрия), число 137 и золотая пропор-
ция взаимосвязаны. Это подтверждает, по мнению
автора, фундаментальность принципа золотого се-
чения и позволяет объяснить многие факты, кото-
рые раньше рассматривались как противоречащие
принципу золотого сечения.
Болгарский журнал «Отечество» (1983.—№ 10)
опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша
о «втором золотом сечении», которое вытекает из
основного сечения и дает новое отношение 44: 56.
Эта пропорция обнаружена в архитектуре, а также
имеет место при построении композиций картин
удлиненного горизонтального формата.
Отрезок АВ делится в пропорции золотого сече-
ния (рис. 24, а). Из точки С восставляется перпен-
дикуляр СД. Радиусом АВ находится точка D,
которая соединяется линией с точкой А. Прямой
< АСД делится пополам. Из точки С проводится
линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит
отрезок AD в отношении 56: 44.
На рис. 24, б показано нахождение линии вто-
рого золотого сечения на картине. Она находится
посередине между линией золотого сечения и сред-
ней линией картины.
