Двумерный кристалл

Двумерная (2D) плотность состояний должна отражать квантовые свойства электронного газа в двух измерениях.

Пусть имеется полоска полупроводникового материала макроскопических размеров в x и y направлениях, в то время как толщина полоски очень мала (нанометры). Периодические граничные условия в x и y направлениях приводит к следующим соотношениям для возможных значений волнового вектора:

, n, l =1, 2,3…. (34)

Площадь, приходящаяся на одно значение вектора k в этом случае равняется

. (35)

Число состояний внутри круга с радиусом k:

, (36)

где учитывается двойное вырождение плотности состояний по спину.

Число состояний, лежащих между значением волнового вектора k и k + dk, равняется

. (37)

Аналогично, число состояний между энергиями E и E + dE можно рассчитать из следующего соотношения:

. (38)

В результате, число состояний на единицу площади и единицу энергии, равняется:

. (39)

Рассматривая электроны как свободные частицы, имеем соотношение:

, (40)

соответственно, 2D -плотность электронных состояний принимает форму:

. (41)

рис.2. Квантование энергий электрона в 2D-кристалле.

Из (41) видно, что 2D-плотность состояний не зависит от энергии. Однако, ρ;(E) зависит от собственно энергетических состояний (уровней) и, т.о., представляет собой сумму от всех вкладов дискретных уровней:

, (42)

где

- (43)

ступенчатая функция Хевисайда и E_cn – отмечает минимумы зоны проводимости двумерного кристалла (рис.2). Дискретность уровней зоны проводимости следует из-за малости ширины двумерного кристалла. Фактически это один атом, уровни энергии которого обладают дискретным энергетическим спектром.

рис.3. Ступенчатая плотность электронных энергетических состояний в 2D-кристалле.

Примером реализации 2D-кристаллов с запрещенным распространением электрона в одном направлении и разрешенным в двух других направлениях является GaAs – Al_xGa_1-xAs сверхрешетка, показанная на рис.4.

рис.4. Координатная потенциальная диаграмма сверхрешетки GaAs – Al_xGa_1-xAs.