Проблема Бецалеля. Постановка задачиVII. ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ. ПСЕВДОРЕШЕНИЕ - Г-голубчики, сказал Федор Симеонович озадаченно... Это же проблема Бен Б-бецалеля. К-калиостро же доказал, что она н-не имеет р-решения. Проблема Бецалеля. Постановка задачи Пусть банахово пространство, а конечномерное подпространство, не совпадающее с .При использовании проекционных методов исходная постановка задачи, как правило, является компромиссом между, быть может, противоречивыми требованиями. Такие задачи или принципиально не имеют решения, или решение не единственно. И то и другое может сопровождаться операторной неустойчивостью. Определение. Задачей Чебышева называют любую задачу о наилучшем приближении элемента банахова пространства к конечномерному подпространству . Она ставится так: , надо указать элемент , такой, что . Комментарий. Ясно, что элемент будет приближать любой элемент лучше, чем другие элементы из . Не ясно, существует ли такой элемент и единственен ли он. Теорема 1 (существование наилучшего приближения). Наилучшее приближение элемента банахова пространства к конечномерному подпространству существует. Пусть банахово пространство, а конечномерное подпространство, не совпадающее с . Укажем элемент , такой, что . Для этого введём в некоторый базис . Тогда . Соответствующая эвклидова норма в эвклидовом базисе имеет вид . В конечномерных пространствах все нормы эквивалентны, то есть . Рассмотрим функцию , . Она непрерывна, так как , то есть если, то и . Рассмотрим теперь шар , где . Вне шара . Так как , и так как , а , то и неравенство только усилится, если заменить на меньшее выражение . Тогда . Таким образом, инфинум недостижим вне этого шара. Это означает, что внутри шара, то есть замкнутого ограниченного множества в конечномерном пространстве, то есть компакта, функция достигает инфинума (теорема Вейерштрасса).
Комментарий. Таким образом, наилучшее приближение элемента х пространства к подпространству L существует. Покажем, что оно не единственно. Пусть пространство Х есть плоскость , а . Введём на Х норму . Пусть .
Тогда .
Из графика этой функции видно, что при решение не единственно.
Определение. Множество называется выпуклым, если из того, что , следует, что принадлежит и весь отрезок, соединяющий точки , то есть совокупность всех точек х вида . Определение. Банахово пространство называется строго выпуклым, если для любого действительного скаляра и любых .
Комментарий. Пространства при строго выпуклы, а при нет. Пространство не строго выпукло. Показано, что в нём проекция единственна только на подмножестве полиномов степени не выше .
Теорема 2 (единственность наилучшего приближения). Пусть строго выпуклое банахово пространство, а конечномерное подпространство, не совпадающее с Х, причём . Тогда , такой, что . Существование доказано в теореме 1. Осталось показатьединственность. . Пусть два наилучших приближения какого-то х. Тогда . Так как строго выпуклое банахово пространство, то , так как при . Тогда , так как это линейная комбинация элементов из . Но по условию . Это противоречие и доказывает теорему.
Комментарий. 1. Как найти наилучшее приближение? В банаховых пространствах общего способа не существует. В гильбертовых пространствах такой общий способ даёт задача ортогонализации, приводящая к понятию ряда Фурье. Пусть – подпространство гильбертова пространства, а подпространство, ортогональное к . Тогда гильбертово пространство . Так как – сепарабельное пространство, то в нем всегда есть ортонормированная система векторов: , где символ Кронекера. Проекция вектора на вектор , где . Мы будем искать те значения коэффициентов разложения , при которых невязка (квадрат невязки) будет минимальна: . Ясно, что это выражение будет принимать минимальное значение при и . Тогда . Отсюда получаем неравенство Бесселя . При ортонормированная система векторов (ОНС) называется полной ортонормированной системой в смысле Стеклова (ПОНС). Отсюда можно получить равенство Стеклова –Парсеваля теорему Пифагора для гильбертовых пространств. 2. Пусть , где компактный оператор. Если , где компакт, то в соответствии с теоремой Тихонова такая задача условно устойчива. Рассмотрим случай, когда . Задача Чебышёва в применении к решению операторных уравнений I рода приводит к понятию псевдорешения (квазирешения) и методу В.К.Иванова нахождения псевдорешений.
|