Студопедия — Решения задач
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Решения задач






1. Пусть - искомая последовательность. Так как , то , , , , состоит из всех остатков по . Но и простое может быть только в случае . Таким образом, единственная искомая прогрессия 5,11,17,23,29.

 

2. Пусть - наименьшее, а - наибольшее из чисел (возможно одно из наименьших и одно из наибольших).

Тогда из -го уравнения имеем:

(т.к. все )

Из -го уравнени:

(т.к. все ).

Значит, . Т.е. у системы единственное положительное решение:

.

 

3. Уравнение переписывается в виде

.

 

4. Стороны перпендикулярны биссектрисам .

Биссектриса . Следовательно, уравнение стороны . Биссектриса делит в отношении , т.е. проходит через .

Перпендикуляр к нему: . Из условия прохождения через , т.е. уравнение стороны .

Биссектриса делит в отношении , т.е проходит через . . Перпендикуляр: . Из условия прохождения через . Т.е. уравнение стороны .

,

,

Ответ:

 

5. Пусть . Тогда , , , . Исходное уравнение сводится к , , . Его решение

, .

Ответ: .

 

6. Ответ: . Если , ответ очевиден. Следовательно, достаточно рассмотреть , и доказать, что искомый предел для функции равен нулю. Фиксируем . Выберем так, что для . Имеем

для . Это означает, что соответствующий предел равен нулю.

 

7. Из неотрицательности коэффициентов следует неположительность всех корней полинома . Согласно теореме Виета, сумма всех корней полинома равна коэффициенту перед , взятому с обратным знаком, т.е. -1. Обозначим через корни полинома , умноженные на -1: .

Тогда неравенство, которое мы хотим доказать, можно переписать в виде:

, причем и . Осталось заметить, что функция является выпуклой вниз, по крайней мере, на отрезке , следовательно, доказываемое неравенство эквивалентно неравенству Йенсена для выпуклой функции в точках -1, -2, …, -2014.

 

8. Обозначим через число перестановок, в которых каждый элемент меняет свой номер. Для вычисления воспользуемся формулой «включений-исключений»: из числа всех перестановок вычтем число перестановок, в которых один элемент остаётся на своем месте (для каждого одного элемента), прибавим число перестановок, в которых два элемента остаются на своём месте (для каждых двух элементов), вычтем число перестановок, в которых три элемента остаются на своём месте (для каждых трёх элементов) и т.д. Получим: (здесь - число способов выбрать те элементов, которые будут оставаться на своих местах, - число способов переставить остальные элементы).

Преобразуем: .

Далее воспользуемся признаком сходимости Даламбера для последовательности с общим членом :

.

Таким образом, ряд сходится при и расходится при . Случай исследуем отдельно, для чего воспользуемся формулой Стирлинга: :

, следовательно, ряд расходится.

Ответ: ряд сходится при и расходится при .

 

9. Ответ: нет.

Рассмотрим, как горизонтальная плоскость пересекает параллелепипед и тетраэдры . Очевидно, что площадь сечения постоянна на ( - высота параллелепипеда). Для каждого из тетраэдров площадь ведет себя следующим образом: вне некоторого интервала она равна нулю, а внутри него пропорциональна или , или . В любом случае внутри этого интервала (носителя функции) она строго выпукла вниз. Площадь равна сумме площадей для всех , кроме конечного числа значений ( и ). Выберем внутри не равным никаким или . Для такого и в некоторой его окрестности площадь должна быть, с одной стороны, постоянной, с другой стороны, строго выпуклой вниз функцией. Это противоречие доказывает утверждение.

 

10. , (1)

Т.е. (2)

Если , то из (1) следует, что , а из (2), что .

Пусть не все нули. Тогда какое-то положительно или отрицательно. Если , то , . По индукции получаем , . Что и требовалось доказать.

Если для некоторого , то по (1) и мы приходим к предыдущему случаю.

 

11. (1)

1) Ясно, что есть решение функционального уравнения (1). Тогда .

2) Все функции, удовлетворяющие на также решения, так как они дают нули в обеих частях (1). В этом случае . Покажем, что других решений у уравнения (1) нет.

Пусть такое, что . Взяв , получим в (1) в правой части , а в левой - . Так как для всех , получим для всех . Поэтому . Значит, на всем отрезке .

Пусть не существует такой, что . Тогда (если , то найдется пересечение и , т.к. ). По непрерывности , получаем для некоторого . Если , то . Если , то для любого имеем (т.к. для некоторого ). Правая часть равенства дифференцируема на , поэтому найдем производные левой и правой частей и получим на . Поэтому . Так как и непрерывна, имеем и на , значит, по пункту (2).

 

12. Способ I

. Пусть собственная скорость самолета , ветра - . Выберем систему координат, как показано на рисунке. Введем полярные координаты . Найдем компоненты скорости самолета :

, (1) , (2)

Продифференцируем второе равенство по .

.

Подставим и , найденные из исходной системы (1):

,

Интегрируем уравнение по :

,

.

При имеем , при этом (2) дает . Итак,

.

Пусть - время перелета. Тогда из (2) получаем так как . Интегрируем уравнение от 0 до :

Замена: . , .

Итак, .

Способ II (предложено студентом Иевлевым Е.А., СПбГУ(Физ.))

Перейдем в систему отсчета ветра. В этой истеме точка движется по прямой со скоростью км/ч. Самолет преследует ее со скоростью км/ч. Пусть - угол между направлением вектора и ость Ох (см. рис.). , - расстояние, пройденное точкой за время полета самолета .

Тогда (1) (2)

В системе отсчета самолета (3)

Подставляя (2) в (3), получим .

Подставляя (1) в (4), находим . Значит, часа.

 

Количество участников, решивших задачи (определено по формуле: полная сумма набранных всеми участниками баллов за задачу, деленная на 10 (стоимость задачи)).

№ задачи                        
Кол-во решивших 59,3 24,7 12,2 51,9 8,1   7,6 7,4 5,6 2,5    

 







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 401. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Тема 2: Анатомо-топографическое строение полостей зубов верхней и нижней челюстей. Полость зуба — это сложная система разветвлений, имеющая разнообразную конфигурацию...

Виды и жанры театрализованных представлений   Проживание бронируется и оплачивается слушателями самостоятельно...

Что происходит при встрече с близнецовым пламенем   Если встреча с родственной душой может произойти достаточно спокойно – то встреча с близнецовым пламенем всегда подобна вспышке...

Классификация и основные элементы конструкций теплового оборудования Многообразие способов тепловой обработки продуктов предопределяет широкую номенклатуру тепловых аппаратов...

Именные части речи, их общие и отличительные признаки Именные части речи в русском языке — это имя существительное, имя прилагательное, имя числительное, местоимение...

Интуитивное мышление Мышление — это пси­хический процесс, обеспечивающий познание сущности предме­тов и явлений и самого субъекта...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия