Решения задач1. Пусть - искомая последовательность. Так как , то , , , , состоит из всех остатков по . Но и простое может быть только в случае . Таким образом, единственная искомая прогрессия 5,11,17,23,29.
2. Пусть - наименьшее, а - наибольшее из чисел (возможно одно из наименьших и одно из наибольших). Тогда из -го уравнения имеем: (т.к. все ) Из -го уравнени: (т.к. все ). Значит, . Т.е. у системы единственное положительное решение: .
3. Уравнение переписывается в виде .
4. Стороны перпендикулярны биссектрисам .
Перпендикуляр к нему: . Из условия прохождения через , т.е. уравнение стороны . Биссектриса делит в отношении , т.е проходит через . . Перпендикуляр: . Из условия прохождения через . Т.е. уравнение стороны . , , Ответ:
5. Пусть . Тогда , , , . Исходное уравнение сводится к , , . Его решение , . Ответ: .
6. Ответ: . Если , ответ очевиден. Следовательно, достаточно рассмотреть , и доказать, что искомый предел для функции равен нулю. Фиксируем . Выберем так, что для . Имеем для . Это означает, что соответствующий предел равен нулю.
7. Из неотрицательности коэффициентов следует неположительность всех корней полинома . Согласно теореме Виета, сумма всех корней полинома равна коэффициенту перед , взятому с обратным знаком, т.е. -1. Обозначим через корни полинома , умноженные на -1: . Тогда неравенство, которое мы хотим доказать, можно переписать в виде: , причем и . Осталось заметить, что функция является выпуклой вниз, по крайней мере, на отрезке , следовательно, доказываемое неравенство эквивалентно неравенству Йенсена для выпуклой функции в точках -1, -2, …, -2014.
8. Обозначим через число перестановок, в которых каждый элемент меняет свой номер. Для вычисления воспользуемся формулой «включений-исключений»: из числа всех перестановок вычтем число перестановок, в которых один элемент остаётся на своем месте (для каждого одного элемента), прибавим число перестановок, в которых два элемента остаются на своём месте (для каждых двух элементов), вычтем число перестановок, в которых три элемента остаются на своём месте (для каждых трёх элементов) и т.д. Получим: (здесь - число способов выбрать те элементов, которые будут оставаться на своих местах, - число способов переставить остальные элементы). Преобразуем: . Далее воспользуемся признаком сходимости Даламбера для последовательности с общим членом : . Таким образом, ряд сходится при и расходится при . Случай исследуем отдельно, для чего воспользуемся формулой Стирлинга: : , следовательно, ряд расходится. Ответ: ряд сходится при и расходится при .
9. Ответ: нет. Рассмотрим, как горизонтальная плоскость пересекает параллелепипед и тетраэдры . Очевидно, что площадь сечения постоянна на ( - высота параллелепипеда). Для каждого из тетраэдров площадь ведет себя следующим образом: вне некоторого интервала она равна нулю, а внутри него пропорциональна или , или . В любом случае внутри этого интервала (носителя функции) она строго выпукла вниз. Площадь равна сумме площадей для всех , кроме конечного числа значений ( и ). Выберем внутри не равным никаким или . Для такого и в некоторой его окрестности площадь должна быть, с одной стороны, постоянной, с другой стороны, строго выпуклой вниз функцией. Это противоречие доказывает утверждение.
10. , (1) Т.е. (2) Если , то из (1) следует, что , а из (2), что . Пусть не все нули. Тогда какое-то положительно или отрицательно. Если , то , . По индукции получаем , . Что и требовалось доказать. Если для некоторого , то по (1) и мы приходим к предыдущему случаю.
11. (1) 1) Ясно, что есть решение функционального уравнения (1). Тогда . 2) Все функции, удовлетворяющие на также решения, так как они дают нули в обеих частях (1). В этом случае . Покажем, что других решений у уравнения (1) нет. Пусть такое, что . Взяв , получим в (1) в правой части , а в левой - . Так как для всех , получим для всех . Поэтому . Значит, на всем отрезке . Пусть не существует такой, что . Тогда (если , то найдется пересечение и , т.к. ). По непрерывности , получаем для некоторого . Если , то . Если , то для любого имеем (т.к. для некоторого ). Правая часть равенства дифференцируема на , поэтому найдем производные левой и правой частей и получим на . Поэтому . Так как и непрерывна, имеем и на , значит, по пункту (2).
12. Способ I
, (1) , (2) Продифференцируем второе равенство по . . Подставим и , найденные из исходной системы (1): , Интегрируем уравнение по : , . При имеем , при этом (2) дает . Итак, . Пусть - время перелета. Тогда из (2) получаем так как . Интегрируем уравнение от 0 до : Замена: . , . Итак, . Способ II (предложено студентом Иевлевым Е.А., СПбГУ(Физ.))
Тогда (1) (2) В системе отсчета самолета (3) Подставляя (2) в (3), получим . Подставляя (1) в (4), находим . Значит, часа.
Количество участников, решивших задачи (определено по формуле: полная сумма набранных всеми участниками баллов за задачу, деленная на 10 (стоимость задачи)).
|