Обґрунтування рішень в умовах невизначеності

Теоретико-ігрові методи.. В більшості випадків для прийняття управлінських рішень використовується неповна і неточна інформація, яка і утворює ситуацію невизначеності. Для обґрунтування рішень в умовах невизначеності використовують:

1) методи теорії статистичних рішень (ігри з природою);

2) методи теорії ігор.

Модель задачі теорії статистичних рішень можна описати так:

якщо існує S = (S₁, S₂,... S_N) - сукупність можливих станів природи,

а X = (X₁, X₂,.. X_M) - сукупність можливих стратегій,

складемо матрицю, кожний елемент якої R_ij - є результатом і-ої стратегії за j -ого стану природи.

В процесі прийняття рішення необхідно на основі наявних відомостей вибрати таку стратегію, яка забезпечить максимальний виграш за будь-яких станів природи. Отже, в задачах теорії статистичних рішень вже існує оцінка реалізації кожної стратегії для кожного стану природи. Проте зовсім невідомо, який із станів природи реально виникатиме. Для розв’язання таких задач використовуються наступні критерії:

1. Критерій песимізму (критерій Уолда). Згідно критерію песимізму для кожної стратегії існує найгірший з можливих результатів. Вибирається при цьому така стратегія, яка забезпечує найкращий з найгірших результатів, тобто забезпечує максимальний з можливих мінімальних результатів. Критерій песимізму у математично формалізованому виді можна представити так:

 

.

 

2. Критерій оптимізму. У відповідності до цього критерію, для кожної стратегії є найкращий з можливих результатів. За допомогою критерію оптимізму вибирається стратегія, яка забезпечує максимальний результат з числа максимально можливих:

 

.

 

3. Критерій коефіцієнта оптимізму (критерій Гурвіца). В реальності, особа яка приймає рішення, не є абсолютним песимістом або абсолютним оптимістом. Звичайно вона знаходиться десь між цими крайніми позиціями. У відповідності до таких передбачень і використовується критерій коефіцієнта оптимізму. Для математичної формалізації коефіцієнта оптимізму до його формули вводиться коефіцієнт l, який характеризує (у долях одиниці) ступінь відчуття особою, яка приймає рішення, що вона є оптимістом. Вибирається при цьому стратегія, яка забезпечує максимальний ефект:

 

.

 

4. Критерій Лапласса. За допомогою трьох попередніх критеріїв стратегія вибиралася, виходячи з оцінки результатів станів природи, і практично не враховувалися ймовірності виникнення таких станів. Критерій Лапласа передбачає розрахунки очікуваних ефектів від реалізації кожної стратегії, тобто суми можливих результатів виникнення кожного стану природи, зважених на ймовірності появи кожного з них. Вибирається при цьому стратегія, яка забезпечує максимальний очікуваний ефект:

,

 

де P_j – імовірність виникнення j -го стану природи (у долях одиниці).

 

5. Критерій жалю (критерій Севіджа). Використання цього критерію передбачає, що особа, яка приймає рішення, має мінімізувати свої втрати при виборі стратегії. Іншими словами, вона мінімізує свою потенційну помилку при виборі неправильного рішення. Використання критерію жалю передбачає:

- побудову матриці втрат. Втрати (b_ij) при цьому розраховуються окремо для кожної стратегії за формулою:

 

;

 

- вибір кращої стратегії за формулою:

 

.

 

Узагальнена характеристика критеріїв теорії статистичних рішень наведена у табл. 4.1.

 

 

Таблиця 4.1

Критерії теорії статистичних рішень

 

 

Теорія ігор. Організації звичайно мають цілі, які суперечать цілям інших організацій-конкурентів. Тому робота менеджерів часто полягає у виборі рішення з урахуванням дій конкурентів. Для вирішення таких проблем призначені методи теорії ігор.

Теорія ігор - це розділ прикладної математики, який вивчає моделі і методи прийняття оптимальних рішень в умовах конфлікту.

Під конфліктом розуміється така ситуація, в якій зіштовхуються інтереси двох або більше сторін, що переслідують різні (найчастіше суперечливі) цілі. При цьому кожне рішення має прийматися в розрахунку на розумного суперника, який намагається зашкодити іншому учаснику гри досягти успіху.

З метою дослідження конфліктної ситуації будують її формалізовану спрощену модель. Для побудови такої моделі необхідно чітко описати конфлікт, тобто:

1) уточнити кількість учасників (учасники або сторони конфлікту називаються гравцями);

2) вказати на всі можливі способи (правила) дій гравців, які називаються стратегіями гравців;

3) розрахувати, якими будуть результати гри, якщо кожний гравець вибере певну стратегію (тобто з’ясувати виграші або програші гравців).

Основну задачу теорії ігор можна сформулювати так: визначити, яку стратегію має застосувати розумний гравець у конфлікті з розумним суперником, щоб гарантувати кожному з них виграш, при чому відхилення будь-якого з гравців від оптимальної стратегії може тільки зменшити його виграш.

Центральне місце в теорії ігор займають парні ігри з нульовою сумою, тобто ігри, в яких:

· приймають участь тільки дві сторони;

· одна сторона виграє рівно стільки, скільки програє інша.

Такий рівноважний виграш, на який мають право розраховувати обидві сторони, якщо вони будуть додержуватися своїх оптимальних стратегій, називається ціною гри. Розв’язати парну гру з нульовою сумою означає знайти пару оптимальних стратегій (одну для першого гравця, а другу – для другого) і ціну гри.

Дві компанії Y і Z з метою збільшення обсягів продажу продукції розробили наступні альтернативні стратегії:

Компанія Y: - Y₁ (зменшення ціни продукції);

- Y₂ (підвищення якості продукції);

- Y₃ (пропозиція вигідніших умов продажу).

Компанія Z: - Z₁ (збільшення витрат на рекламу);

- Z₂ (відкриття нових дистриб’юторських центрів);

- Z₃ (збільшення кількості торгових агентів).

Вибір пари стратегій Y_i i Z_j визначає результат гри, який позначимо як A_ij і вважатимемо його виграшем компанії Y. Тепер результати гри для кожної пари стратегій Y i Z можна записати у вигляді матриці, у якій m рядків та n стовпців. Рядки відповідають стратегіям компанії Y, а стовпці - стратегіям компанії Z:

 

Стратегії Y	Стратегії Z
Z1	Z2	Z3
Y1	А11	А12	А13
Y2	А21	А22	А23
Y3	А31	А32	А33

 

Така таблиця називається платіжною матрицею гри. Якщо гра записана у такому вигляді, це означає, що вона приведена до нормальної форми.

Для розв’язання гри розрахуємо верхню і нижню ціну гри та обчислимо сідлову точку.

Нижню і верхню ціну гри знаходимо, керуючись принципом обережності, згідно якого у грі потрібно поводитись так, щоб за найгірших для себе діях суперника отримати найкращий результат (вже відомий нам критерій песимізму).

Нижня ціна гри (яку прийнято позначати a) розраховується шляхом визначення мінімального значення A_ij по кожному рядку платіжної матриці (стратегії гравця Y) і вибору з-поміж них максимального значення, тобто:

 

.

 

Верхня ціна гри (яку прийнято позначати b) розраховується шляхом визначення максимального значення A_ij по кожному стовпцю платіжної матриці гри (стратегії гравця Z) і вибору з-поміж них мінімального значення, тобто:

 

.

 

Якщо нижня ціна гри дорівнює верхній (a = b), то така гра має сідлову точку і вирішується в чистих стратегіях. Сідлова точка – це такий елемент в платіжній матриці гри, який є мінімальним у своєму рядку і одночасно максимальним у своєму стовпці.

Чисті стратегії – це пара стратегій (одна - для першого гравця, а друга - для іншого), які перехрещуються в сідловій точці. Сідлова точка в цьому випадку і визначає ціну гри.

Ігри, які не мають сідлової точки, на практиці зустрічаються частіше. Доведено, що і у цьому випадку рішення завжди є, але воно обраховується в межах змішаних стратегій. Знайти рішення гри без сідлової точки означає визначення такої стратегії, яка передбачає використання кількох чистих стратегій.

В іграх із сідловою точкою відхилення одного гравця від своєї оптимальної стратегії зменшує його виграш (в найкращому випадку виграш залишається незмінним).

В іграх, які не мають сідлової точки, ситуація інша. Відхиляючись від своєї оптимальної стратегії, гравець має можливість отримати виграш більший за нижню ціну гри. Але така спроба пов’язана з ризиком: якщо другий гравець вгадає, яку стратегію застосував перший, тоді він також може відступити від своєї оптимальної стратегії. В результаті виграш першого гравця може бути меншим за нижню ціну гри. Єдина можливість завадити противнику вгадати, яка стратегія використовується – це застосувати декілька чистих стратегій. Звідси з’являється поняття "змішана стратегія".

Експертні методи прийняття рішень застосовуються у випадках, коли для прийняття управлінських рішень неможливо використати кількісні методи. Найчастіше на практиці застосовують:

1) метод простого ранжирування;

2) метод вагових коефіцієнтів.

Метод простого ранжування (або метод надання переваги) полягає у тому, що кожний експерт позначає ознаки у порядку надання переваги. Цифрою “1” позначається найбільш важлива ознака, цифрою “2” - наступна за ступенем важливості і т.д.

Оцінки ознак (a_ij), отримані від кожного експерта, зводяться в таблицю такого виду:

 

Ознаки	Експерти
		...	m
x1	a11	a12	...	a1m
x2	a21	a22	...	a2m
...	...	...	...	...
xn	an1	an2	...	anm

 

Далі визначається середній ранг, тобто середнє статистичне значення S_i за і -тою ознакою за формулою:

 

 

де a_ij – порядок надання переваги і -тій ознаці j -им експертом;

j - номер експерта;

і - номер ознаки;

m - кількість експертів.

Чим меншим є значення S_i, тим вагомішою є ця ознака.

Метод вагових коефіцієнтів (оцінювання) полягає у наданні всім ознакам вагових коефіцієнтів. Воно може здійснюватися двома способами:

1) усім ознакам призначають вагові коефіцієнти так, щоб сума всіх коефіцієнтів дорівнювала 1 або 10, або100;

2) найважливішій з усіх ознак призначають ваговий коефіцієнт, який дорівнює певному фіксованому числу, а решті ознак – коефіцієнти, які дорівнюють часткам цього числа.

Узагальнену думку експертів S_i за і -ою ознакою розраховують за формулою:

 

 

де a_ij -ваговий коефіцієнт, який призначив j- ий експерт і- ій ознаці;

j - номер експерта;

і - номер ознаки;

m - кількість експертів, які оцінюють і- ту ознаку.

Чим більшою є величина S_i, тим більш вагомою є ця ознака.