Закон Дарси

Дифференциальные уравнения фильтрации

Основные понятия и определения

Фильтрацией называется движение жидкостей, газов и их смесей в пористых и трещиноватых средах, то есть в твердых телах, пронизанных системой сообщающихся между собой пор и микротрещин. Фильтрация жидкостей и газов по сравнению с движением в трубах и каналах обладает некоторыми специфическими особенностями. Фильтрация происходит по чрезвычайно малым в поперечных размерах поровым каналам при очень малых скоростях движения жидкостей. Силы трения при движении жидкости в пористой среде очень велики, так как площади соприкосновения жидкости с твердыми частицами огромны.

Коэффициентом пористости m называется отношение объема пор в образце V_пор к объему образца V.

.

(1.1)

Под пористостью понимается активная пористость, которая учитывает только те поры и микротрещины, которые соединены между собой и через которые может фильтроваться жидкость.

Коэффициентом просветности n называется отношение площади просветов w_пр в данном сечении пористой среды ко всей площади этого сечения w

.

(1.2)

Площадь просветов различна в различных поперечных сечениях w_пр(х). Среднее значение просветности по длине образца равно пористости.

.

(1.3)

Поперечным сечением w называется поверхность, проведенная перпендикулярно направлению скорости.

Объемным расходом Q называется объем жидкости прошедший через поперечное сечение за единицу времени.

.

(1.4)

Массовым расходом Q_m называется масса жидкости прошедшая через поперечное сечение за единицу времени.

.

(1.5)

Массовый расход равен произведению плотности r на объемный расход:

.

(1.6)

Скоростью фильтрации u называется отношение объемного расхода жидкости к площади поперечного сечения.

.

(1.7)

Скорость фильтрации это скорость, с которой двигалась бы жидкость, если бы пористая среда отсутствовала (m = 1).

В действительности фильтрация жидкости или газа происходит по просветам. Поэтому действительная скорость v больше скорости фильтрации и определяется:

.

(1.8)

При плоскопараллельном потоке векторы скоростей параллельны друг другу, поэтому фильтрация происходит только вдоль одной оси, которую можно принять за ось x. В каждом поперечного сечения давление, скорость и направление скорости одинаковы, но в разных поперечных сечениях они разные и являются функцией координаты этой оси p(x), u(x). Плоскопараллельное движение имеет место в двух следующих случаях.

В лабораторных условиях при фильтрации через цилиндрический керн, или в трубе, диаметром D, заполненной пористой средой (Рис. 1.1). Площадь поперечного сечения представляет собой площадь круга и равна:

.

(1.9)

На некоторых участках продуктивного пласта, которые можно представить в виде параллелепипеда верхние и нижние грани (кровля и подошва пласта), а также ближняя и дальняя грань непроницаемы для жидкости. Во всех точках левой грани поддерживается постоянное давление p_к, а во всех точках правой грани поддерживается постоянное давление p_г. Расстояние между кровлей и подошвой пласта называется толщиной пласта и обозначается h. Расстояние между ближней и дальней гранью называется шириной и обозначается B. Расстояние между левой и правой гранью называется длиной и обозначается L. Этот случай плоскопараллельного движения часто называют галереей, а величины h, B и L называют толщиной, шириной и длиной галереи. Площадь поперечного сечения галереи равна:

.

(1.10)

 

 

a. Плоскопараллельный поток

 

b. Плоскорадиальный поток

 

c. Сферический поток Рис. 1.1. Схемы фильтрационных потоков

При плоскорадиальном потоке в любой горизонтальной плоскости продолжение векторов скоростей сходятся (или расходятся) в одной точке. На практике плоскорадиальной поток встречается в случае вскрытия горизонтального пласта вертикальной скважиной с круговым контуром питания. Если вскрыт весь пласт и приток происходит по всей боковой поверхности скважины, то скважина называется гидродинамически совершенной. Расстояние от оси скважины до какой-либо точки пласта называется радиусом r. Площадь поперечного сечения представляет собой боковую поверхность цилиндра, высота которого равна толщине пласта h, а радиус – расстоянию от центра скважины до данной точки пласта:

.

(1.11)

В каждом поперечного сечения давление и скорость одинаковы, но в разных поперечных сечениях они разные и являются функцией радиуса p(r), u(r).

При радиально-сферическом потоке продолжение векторов скоростей в пространстве сходятся (или расходятся) в одной точке. Расстояние от этой точки, которую называют источником или стоком, до любой точке пласта называется радиусом r. Поперечного сечения представляет собой поверхность сферы радиусом r:

.

(1.12)

В каждом поперечного сечения давление и скорость одинаковы, но в разных поперечных сечениях они разные и являются функцией радиуса p(r), u(r).

На практике радиально-сферическийпоток встречается в случае вскрытия скважиной кровли пласта бесконечно большой толщины скважиной с полусферическим контуром питания.

В общем случае давления и скорости фильтрации зависят от координаты точки и времени.

(1.13)

Движение называется установившимся (стационарным), если в любой точке пласта давления и скорости фильтрации не зависят от времени. В противном случае движение называется неустановившимся (нестационарным).

Закон Дарси

Движение однородной жидкости в пористой среде определяется силами давления и силами тяжести. Основное соотношение теории фильтрации - закон Дарси - устанавливает связь между величиной скорости фильтрации вдоль линии тока и силами действующими в жидкости. Рассмотрим закон Дарси на примере схемы опытной установки (Рис. 1.2). Пусть по трубе, диаметром D и длиной L заполненной пористой средой, фильтруется жидкость со скоростью u. Выберем два поперечных сечения 1 и 2. Центры тяжести поперечных сечений расположены на высотах z₁ и z₂. Давление p₁ и p₂ в сечениях замеряем пьезометрами. Как и в трубной гидравлике запишем уравнение Бернулли для этих сечений.

,

(1.14)

где - гидродинамический напор;

h₁₂ = h(u) - потери напора между сечениями, которые зависят от скорости фильтрации и не могут рассчитываться по формулам трубной гидравлики.

Скорости фильтрации жидкости в пористой среде малы, поэтому скоростным напором можно пренебречь. Разрешая уравнение (1.14) относительно скорости фильтрации, получим:

.

(1.15)

Рис. 1.2. Схема опытной установки

Рассмотрим зависимость скорости фильтрации от расстояния между сечениями и площади поперечного сечения. При прочих равных условиях с увеличением расстояния увеличиваются сопротивления движению жидкости и скорость фильтрации должна уменьшатся. Наиболее простая зависимость - обратно пропорциональная u ~ 1/L. Предположим, что скорость фильтрации зависит от площади поперечного сечения, то во всем образце она будет одна. Проделаем мысленный эксперимент. Разделим поперечное сечение пополам и рассмотрим одну половину. Площадь поперечного сечения изменилась, значит должна измениться и скорость, но в одном и том же реальном образце не могут быть две различные скорости фильтрации. Поэтому наше предположение не верно и скорость фильтрации не зависит от площади. Кроме того, скорость фильтрации зависит от свойств фильтрующейся жидкости и свойств пористой среды. Учтем эти свойства - коэффициентом фильтрации k_ф.

Тогда формула (1.15) запишется:

.

(1.16)

Эта формула впервые была экспериментально полечена французским инженером Дарси и подтверждается для многих жидкостей и газов в широких пределах изменения скоростей. Но для некоторых жидкостей и значений скоростей фильтрации эта формула не подтверждается. Коэффициентом фильтрации k_ф используется в тех случаях, когда фильтруется вода. При фильтрации нефти, газа, воды и их смесей желательно учитывать свойства породы и жидкости отдельно. Свойства жидкости характеризуются коэффициентом динамической вязкости μ; и плотностью r. Тогда коэффициент фильтрации можно записать в виде:

,

(1.17)

где k - коэффициент проницаемости.

Коэффициент проницаемости зависит только от свойств пористой среды и определяет способность пористой среды пропускать сквозь себя жидкости и газы. Коэффициент проницаемости имеет размерность площади (в СИ [k] = м² = 10 ¹² мкм²) и качественно представляет собой площадь поперечного сечения отдельного капилляра. Поэтому проницаемость горных пород очень мала. Например, проницаемость крупнозернистых песчаников, а таких нефтяных или газовых пластов очень мало, составляет 10^-12 - 10^{-13 м2}. На практике до сих пор проницаемость нефтяных и газовых пластов измеряется устаревшими единицами, называемыми Дарси (Д). С введением системы единиц СИ использовать эту единицу запрещено. Для перевода в систему СИ используется соотношение 1 Д = 1,02 10^-12 м² = 1,02 мкм².

С введение коэффициента проницаемости закон Дарси примет вид:

(1.18)

где p* = p + r g z - приведенное давление.

Расстояния z от плоскости сравнения до данной точки считается положительным, если точка лежит выше плоскости сравнения, и отрицательной, если ниже. За плоскость сравнения можно принять любую горизонтальную плоскость. Обычно принимают границу газонефтяного (ГНК) или водонефтяного (ВНК) контакта. При движении жидкости в горизонтальных пластах (z = const), поэтому второе слагаемое в приведенном давлении постоянно и при подстановке в формулу обращается в нуль. Поэтому в горизонтальных пластах при движении однородной жидкости приведенное давление можно положить равным давлению в данной точке и знак (*) в законе Дарси можно опустить.

Рассмотрим трубку тока, вдоль которой происходит фильтрация жидкости. Обозначим расстояние вдоль вектора скорости у этой трубки через s. Выберем две точки на расстоянии Ds друг от друга и запишем для этих точек закон Дарси:

(1.19)

Получим значение средней скорости на этом участке u_ср. Если устремить расстояние между точками к нулю, то получим закон Дарси в дифференциальной форме:

.

(1.20)

В векторной форме закон Дарси запишется:

.

(1.21)

или в проекциях на оси координат

(1.22)

На практике проницаемость по вертикали в 2 - 10 раз меньше чем по горизонтали. Такая пористая среда называется анизотропной и закон Дарси в этом случае имеет вид:

(1.23)

Для плоскорадиального и радиально-сферического потока Закон Дарси можно записать в виде:

.

(1.24)

В пластах часто встречаются непроницаемые границы (сбросы). Жидкость двигаться перпендикулярно непроницаемой границе не может, поэтому нормальная к границе скорость равна нуль u_n = 0. Тогда из закона Дарси следует:

(1.25)

Это означает, что перпендикулярно непроницаемой границе давление не меняется и линии равного давления (изобары) перпендикулярны этой границе.