Дифференциальные уравнения фильтрации

Основные понятия и определения

Фильтрацией называется движение жидкостей, газов и их смесей в пористых и трещиноватых средах, то есть в твердых телах, пронизанных системой сообщающихся между собой пор и микротрещин. Фильтрация жидкостей и газов по сравнению с движением в трубах и каналах обладает некоторыми специфическими особенностями. Фильтрация происходит по чрезвычайно малым в поперечных размерах поровым каналам при очень малых скоростях движения жидкостей. Силы трения при движении жидкости в пористой среде очень велики, так как площади соприкосновения жидкости с твердыми частицами огромны.

Коэффициентом пористости m называется отношение объема пор в образце V_пор к объему образца V:

.

(1.1)

Под пористостью понимается активная пористость, которая учитывает только те поры и микротрещины, которые соединены между собой и через которые может фильтроваться жидкость.

Коэффициентом просветности n называется отношение площади просветов w_пр в данном сечении пористой среды ко всей площади этого сечения w:

.

(1.2)

Площадь просветов различна в различных поперечных сечениях w_пр(х). Среднее значение просветности по длине образца равно пористости.

.

(1.3)

Поперечным сечением w называется поверхность, проведенная перпендикулярно направлению скорости.

Объемным расходом Q называется объем жидкости прошедший через поперечное сечение за единицу времени:

.

(1.4)

Массовым расходом Q_m называется масса жидкости прошедшая через поперечное сечение за единицу времени:

.

(1.5)

Массовый расход равен произведению плотности r на объемный расход:

.

(1.6)

Скоростью фильтрации u называется отношение объемного расхода жидкости к площади поперечного сечения:

.

(1.7)

Скорость фильтрации это скорость, с которой двигалась бы жидкость, если бы пористая среда отсутствовала (m = 1).

В действительности фильтрация жидкости или газа происходит по просветам. Поэтому действительная скорость v больше скорости фильтрации и определяется:

.

(1.8)

При плоскопараллельном потоке векторы скоростей параллельны друг другу, поэтому фильтрация происходит только вдоль одной оси, которую можно принять за ось x. В каждом поперечного сечения давление, скорость и направление скорости одинаковы, но в разных поперечных сечениях они разные и являются функцией координаты этой оси p(x), u(x). Плоскопараллельное движение имеет место в двух следующих случаях.

В лабораторных условиях при фильтрации через цилиндрический керн, или в трубе, диаметром D, заполненной пористой средой (Рис. 1.1). Площадь поперечного сечения представляет собой площадь круга и равна:

.

(1.9)

На некоторых участках продуктивного пласта, которые можно представить в виде параллелепипеда верхние и нижние грани (кровля и подошва пласта), а также ближняя и дальняя грань непроницаемы для жидкости. Во всех точках левой грани поддерживается постоянное давление p_к, а во всех точках правой грани поддерживается постоянное давление p_г. Расстояние между кровлей и подошвой пласта называется толщиной пласта и обозначается h. Расстояние между ближней и дальней гранью называется шириной и обозначается B. Расстояние между левой и правой гранью называется длиной и обозначается L. Этот случай плоскопараллельного движения часто называют галереей, а величины h, B и L называют толщиной, шириной и длиной галереи.

 

Модель пласта

Галерея

a. Плоскопараллельный поток

Площадь поперечного сечения галереи равна:

.

(1.10)

При плоскорадиальном потоке в любой горизонтальной плоскости продолжение векторов скоростей сходятся (или расходятся) в одной точке. На практике плоскорадиальной поток встречается в случае вскрытия горизонтального пласта вертикальной скважиной с круговым контуром питания. Если вскрыт весь пласт и приток происходит по всей боковой поверхности скважины, то скважина называется гидродинамически совершенной. Расстояние от оси скважины до какой-либо точки пласта называется радиусом r. Площадь поперечного сечения представляет собой боковую поверхность цилиндра, высота которого равна толщине пласта h, а радиус – расстоянию от центра скважины до данной точки пласта:

.

(1.11)

В каждом поперечного сечения давление и скорость одинаковы, но в разных поперечных сечениях они разные и являются функцией радиуса p(r), u(r).

b. Плоскорадиальный поток

 

 

c. Сферический поток Рис. 1.1. Схемы фильтрационных потоков

При радиально-сферическом потоке продолжение векторов скоростей в пространстве сходятся (или расходятся) в одной точке. Расстояние от этой точки, которую называют источником или стоком, до любой точке пласта называется радиусом r. Площадь поперечного сечения представляет собой поверхность сферы радиусом r:

.

(1.12)

В каждом поперечного сечения давление и скорость одинаковы, но в разных поперечных сечениях они разные и являются функцией радиуса p(r), u(r).

На практике радиально-сферическийпоток встречается в случае вскрытия скважиной кровли пласта бесконечно большой толщины скважиной с полусферическим контуром питания.

В общем случае давления и скорости фильтрации зависят от координаты точки и времени.

(1.13)

Движение называется установившимся (стационарным), если в любой точке пласта давления и скорости фильтрации не зависят от времени. В противном случае движение называется неустановившимся (нестационарным).