Стоки и источники в пространстве

Рассмотрим задачу о потенциале точечного стока в пространстве. В этом случае приток будет радиально-сферический (рис. 2.5). По закону Дарси имеем

С другой стороны, можно записать

где f =4 pr ² – площадь фильтрации сферы.

Приравнивая указанные выражения и интегрируя, получаем

(2.20)

Рис. 2.5. Схема радиально-сферического притока

Получили формулу потенциала точечного стока в пространстве. При r= 0 имеем Ф =-¥, u =¥; при r= ¥ получаем Ф = const, u =0. Покажем использование формулы (2.20). Пусть Ф _к и Ф _с потенциалы на сферах, описанных радиусами R _к и r _с. Согласно (2.20) имеем:

(2.21)

По правилу производных пропорций из (2.21) имеем

. (2.22)

При r ®¥ const в (2.20) становится потенциалом на бесконечности. Обычно , следовательно, .

Тогда

. (2.23)

Таким образом, для точечного стока в пространстве радиус контура питания практически на дебит не влияет. В случае плоскорадиального притока (формула Дюпюи) ошибка в выборе в 2-3 раза к большим погрешностям в дебите не приведет. Для полупространства (рис. 2.6), например, пласт большой толщины, где вскрыта только кровля пласта, формула (2.22), очевидно, запишется в виде

. (2.24)

 

Рис. 2.6. Схема радиально-сферического притока в полупространстве

(скважина вскрыла лишь кровлю пласта)