Теорема умножения вероятностей. Теорема умножения для независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного события.Назовем условной вероятностью р (В/А) события В вероятность события В при условии, что событие А произошло. Замечание. Понятие условной вероятности используется в основном в случаях, когда осуществление события А изменяет вероятность события В. (теорема умножения). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло: р (АВ) = р (А) · р (В/А). (2.6) Доказательство. Воспользуемся обозначениями теоремы 2.1. Тогда для вычисления р (В/А) множеством возможных исходов нужно считать тА (так как А произошло), а множеством благоприятных исходов – те, при которых произошли и А, и В (тАВ). Следовательно,
откуда следует утверждение теоремы. Следствие. Если подобным образом вычислить вероятность события ВА, совпадающего с событием АВ, то получим, что р (ВА) = р (В) · р (А/В). Следовательно, р (А) · р (В/А) = р (В) · р (А/В). (2.7) Событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности В, то есть р (В/А) = р (В). Замечание. Если событие В не зависит от А, то и А не зависит от В. Действительно, из (2.7) следует при этом, что р (А) · р (В) = р (В) · р (А/В), откуда р (А/В) = р (А). Значит, свойство независимости событий взаимно. Теорема умножения для независимых событий имеет вид: р (АВ) = р (А) · р (В), то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероят-ностей. При решении задач теоремы сложения и умножения обычно применяются вместе.
|
