Контрольна робота

по курсу

«Теорія ймовірностей та мат. аналіз»

 

Виконав:

ст. групи ЕП – 10 3з

Давіденко О. В.

.

 

Алчевск, 2011

1.

1. Побудувати інтервальний варіаційний ряд для випадкової величини. Крок обирається за формулою Сетрджеса.

2. Побудувати гістограму і полігон частот.

3. Знайти медіану і моду.

4. Знайти методом добутків вибіркові середнє, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації, асиметрію й ексцес.

5. Знайти довірчий інтервал для математичного сподівання з надійністю u=0,95 (при нормальному розподілі)

6. При рівні значимості а=0,05 за допомогою критерію Пірсона перевірити гіпотезу про нормальний закон розподілу.

Вимоги: усі числові характеристики повинні бути записані з відповідними одиницями виміру.

Результати вимірів (у мм) п’ятдесяти однотипних деталей дали наступні значення:

30,2	32,4	34,5	39,4	33,0	32,6	34,1	36,2	37,6	33,0
34,0	36,0	37,4	37,0	35,4	36,0	38,4	38,8	36,4	35,0
38,2	41,0	36,5	39,6	35,6	40,2	41,8	35,0	37,5	35,8
28,0	34,8	35,5	29,5	39,8	30,6	31,2	33,4	37,2	32,8
32,0	33,6	31,4	33,8	35,2	30,8	35,9	31,6	37,8	32,5

 

Рішення.

Формула Стерджеса має вигляд:

де N – число одиниць сукупності.

Величину інтервалу визначають по наступній формулі

 

Групи вимірів (у мм) п’ятдесяти однотипних деталей	Кількість вимірів
28-30,078
30,078-32,156
32,156-34,234
34,234-36,312
36,312-38,39
38,39-40,468
40,468-42,546
Разом

 

1) Складемо таблицю частот згрупованої вибірки:

Межі інтервалу xi xi+1	Середина інтервалу xi0	Частота ni	Накопичувальна частота	Відносна частота ni/n	Накопичувальна відносна частота /n
28-30,078	29,039			0,04	0,04
30,078-32,156	31,117			0,12	0,16
32,156-34,234	33,195			0,22	0,38
34,234-36,312	35,273			0,28	0,66
36,312-38,39	37,351			0,18	0,84
38,39-40,468	39,429			0,12	0,96
40,468-42,546	41,507			0,04

 

2) Побудуємо гістограму частот:

3) Побудуємо полігон частот

3) Знайдемо медіану і моду інтегральному ряді розподілу

Медіана дорівнює:

Мода дорівнює:

4) Знайдемо методом добутків вибіркові середнє, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації, асиметрію й ексцес.

Середина інтервалу xi0	29,039	31,117	33,195	35,273	37,351	39,429	41,507
Частота ni

 

Вибіркове середнє дорівнює:

Складемо заповнимо таблицю:

хi0	ni	Ui	niUi	niUi2	ni(Ui+1)2
29,039		-2	-4
31,117		-1	-6
33,195
35,273
37,351
39,429
41,507

Обчислимо умовні моменти 1-го і 2-го порядку:

Знайдемо крок h (різниця між сусідніми інтервалами):

Обчислимо шукані, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації, асиметрію й ексцес

Дисперсія дорівнює:

Середнє квадратичне відхилення дорівнює:

Коефіцієнт варіації дорівнює:

Асиметрія визначається по формулі:

Ексцес визначимо по формулі

5). Знайти довірчий інтервал для математичного сподівання з надійністю u=0,95 (при нормальному розподілі)

Довірчий інтервал для невідомого генерального середнього має вигляд:

Тут всі величини, крім t, відомі. Знайдемо t зі співвідношення u=0,95. За таблицею Лапласа знаходимо t=1,96. Підставивши t=1,96, у=2,88, , n=50, остаточно одержимо шуканий довірчий інтервал:

 

6). При рівні значимості а=0,05 за допомогою критерію Пірсона перевірити гіпотезу про нормальний закон розподілу.

Для знаходження теоретичних частот використаємо формули:

і скористаємось розрахунковою таблицею

Межі інтервалу xi xi+1
28-30,078	-2,496527778	-1,775	-0,5	-0,4152	0,085		0,17
30,078-32,156	-1,775	-1,053472222	-0,4125	-0,3051	0,110		0,66
32,156-34,234	-1,053472222	-0,331944444	-0,3051	-0,1255	0,180		1,98
34,234-36,312	-0,331944444	0,389583333	-0,1255	0,0852	0,211		2,954
36,312-38,39	0,389583333	1,111111111	0,0852	-0,2734	0,188		1,692
38,39-40,468	1,111111111	1,832638889	0,2734	0,4015	0,128		0,768
40,468-42,546	1,832638889	2,554166667	0,4015	0,4664	0,065		0,13

 

Значення критерію Ксп обчислюється за формулою:

За таблицями критичних точок розподілу

Оскільки Ксп=4,5<6,85=kкр, то гіпотеза про нормальний закон розподілу приймається.

2.

1. За даними досліджень побудувати кореляційне поле

2. За результатами спостережень знайти лінійне рівняння регресії і додати лінію регресії на поле кореляції

3. Обчислити коефіцієнт кореляції

4. Перевірити на значимість вибірковий коефіцієнт кореляції

5. Дати економічний аналіз всіх отриманих результатів.

Залежність між кількістю внесених добрів Х (у кг/га) і врожайністю BY (у ц/га).

У	86,9	78,5	99,5	78,6	45,9	56,8	94,8	88,7	65,4	66,3	88,9	77,6
Х	5,6	4,9	6,8	4,7	3,3	4,6	7,2	6,9	6,6	5,5	6,4	5,9
У	79,8	64,3	63,9	71,9	85,4	77,3	94,6	86,3	87,1	69,7	77,3	64,9
Х	6,0	4,5	4,7	5,8	5,9	5,2	7,6	6,8	6,5	3,5	4,9	4,0

 

Використовуючи програму Excel побудуємо кореляційне поле, додамо лінію регресії та визначимо лінійне рівняння регресії на поле кореляції.

Коефіцієнт кореляції для лінійного звязку обчислимо за формулою:

,

де – середній добуток ознак х та у;

– середнє значення ознаки відповідно х і у;

σ_х – середнє квадратичне відхилення ознаки х;

σ_у – середнє квадратичне відхилення ознаки у.

Складемо розрахункову таблицю:

n	Y	X	X*Y
	86,9	5,6	486,64	96,04	0,0009
	78,5	4,9	384,65	1,96	0,4489
	99,5	6,8	676,6	501,76	1,5129
	78,6	4,7	369,42	2,25	0,7569
	45,9	3,3	151,47	973,44	5,1529
	56,8	4,6	261,28	412,09	0,9409
	94,8	7,2	682,56	313,29	2,6569
	88,7	6,9	612,03	134,56	1,7689
	65,4	6,6	431,64	136,89	1,0609
	66,3	5,5	364,65	116,64	0,0049
	88,9	6,4	568,96	139,24	0,6889
	77,6	5,9	457,84	0,25	0,1089
	79,8		478,8	7,29	0,1849
	64,3	4,5	289,35	163,84	1,1449
	63,9	4,7	300,33	174,24	0,7569
	71,9	5,8	417,02	27,04	0,0529
	85,4	5,9	503,86	68,89	0,1089
	77,3	5,2	401,96	0,04	0,1369
	94,6	7,6	718,96	306,25	4,1209
	86,3	6,8	586,84	84,64	1,5129
	87,1	6,5	566,15		0,8649
	69,7	3,5	243,95	54,76	4,2849
	77,3	4,9	378,77	0,04	0,4489
	64,9		259,6	148,84	2,4649
	1850,4	133,8	10593,33	3964,28	31,1856

 

 

3. Пасажир може звернутися за отриманням квитка до однієї з двох кас вокзалу. Ймовірність його звертання до кожної каси залежить від її знаходження та дорівнює відповідно 0,8 та 0,5. Ймовірність того, що на потрібний момент квитків потрібного пасажиру напрямку не буде для першої каси дорівнює 0,7 а для другої – 0,5. Знайти ймовірність того, що пасажир купить потрібний йому квиток.

Нехай за умов попередньої задачі відомо, що пасажир купив квиток. Яка ймовірність того що він купив його в першій касі.

 

Рішення

 

А = «Пасажир купив потрібний квиток»

В1 = «Купив квиток в перший клас»

В2 = «Купив квиток в другий клас»

 

а) Формула повної ймовірності.

б) ймовірність, що куплено квиток в 1 класі.

Формула Байеса:

 

 

4. Дискретну випадкову величину Х задано законом розподілу:

а) Х 3 10 15

Р 0,6 0,2 0,2

Знайти функцію розподілу цієї випадкової величини та побудувати її графік.

Випадкову величину Х задано функцією розподілу.

 

Рішення

 

 

Побудуємо графік.

 

б)

1. Щільність розподілу ймовірностей:

2.

Вірогідність попадання видадкових величин Х на интервалі .