Медиана и мода

Наряду со средними величинами в качестве описательных характеристик вариационного ряда применяют медиану и моду.

О. 1. Медианой называют значение признака, приходящее на середину ранжированного ряда наблюдений.

Пусть проведено нечётное число наблюдений, то есть , и результаты наблюдений проранжированы и выписаны в следующий ряд . Здесь - значение признака, занявшее i -е порядковое место в ранжированом ряду. На середину ряда приходится значение . Следовательно: .

Если проведено чётное число наблюдений, то есть , то на середину ранжированного ряда приходятся значения и . В этом случае за медиану принимают среднюю арифметическую значений и , то есть .

Для интервального вариационного ряда медиана определяется по формуле или , где - начало медианного интервала, то есть такого, которому соответствует первая из накопленных частот (накопленных частостей), большая или равная половине всех наблюдений ; - частота (частость), накопленная к началу медианного интервала; - частота (частость) медианного интервала.

О. 2. Модой называют такое значение признака, которое наблюдалось наибольшее число раз. Нахождение моды для дискретного вариационного ряда не требует каких-либо вычислений, так как ей является вариант, которому соответствует наибольшая частота.

В случае интервального вариационного ряда мода вычисляется по следующей формуле:

или ,

где - начало модального интервала, то есть такого, которому соответствует наибольшая частота (частость); - частота (частость) модального интервала; - частота (частость) интервала, предшествующего модальному; - частота (частость) интервала, следующего за модальным.

Моду используют в случаях, когда нужно ответить на вопрос, какой товар имеет наибольший спрос, каковы преобладающие в данный момент уровни производительности труда, себестоимости. Модальные производительность и себестоимость помогают вскрыть ресурсы, имеющиеся в экономике.

Пример 37. Вычислить моду и медиану для интервального ряда

Решение. Найдём объём выборки по формуле , или . Вычислим накопленные частоты

, следовательно, медианным является интервал . Тогда , и .

Модальным является интервал , следовательно, , . Тогда .