Студопедия — Решение. а) Первого вице-президента можно выбрать из n1=10 претендентов, при этом на пост второго вице-президента будут претендовать n2=9 оставшихся директоров
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Решение. а) Первого вице-президента можно выбрать из n1=10 претендентов, при этом на пост второго вице-президента будут претендовать n2=9 оставшихся директоров






Первый способ.

а) Первого вице-президента можно выбрать из n1 =10 претендентов, при этом на пост второго вице-президента будут претендовать n2 =9 оставшихся директоров. Поэтому, согласно правилу произведения, у нового президента банка есть способов назначения двух вице-президентов, один из которых подчиняется другому, из числа десяти директоров.

б) Пусть первое действие заключается в том, что президент отбирает двух человек на должности вице-президентов, а второе действие — в том, что президент говорит отобранным людям, кто из них является первым вице-президентом, а кто — вторым. Пусть первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие, очевидно, можно выполнить n2 способами, и по правилу произведения число способов назначения двух вице-президентов, один из которых подчиняется другому, из числа десяти директоров составляет . С другой стороны, в пункте а) мы нашли это число, и оно оказалось равным 90, поэтому .

Второй способ.

а) Число способов выбора двух кандидатов на две различные должности из десяти претендентов описывается числом размещений из 10 элементов по 2, т.е. А210=90.

б) Число способов выбора двух кандидатов на две одинаковые должности из десяти претендентов описывается числом сочетаний из 10 элементов по 2, т.е. С210=45.


Элементы теории вероятностей

§ 1. Предмет теории вероятностей

При однородных массовых операциях как-то: многократная стрельба, массовое производство деталей, бросание монеты и тому подобное, показателем выполнения интересующего нас события является доля или процент его осуществления от всего числа операций. Так, если стрелок при определенных условиях стрельбы попадает в цель 73 раза из 100, то говорят, что процент попадания равен 73%, то есть в сотне выстрелов у стрелка бывает 73 удачных. В теории вероятностей эта характеристика имеет определенную числовую меру - этой мерой является вероятность. Очевидно, что чем больше вероятность, тем чаще наступают события и наоборот.

Случайное явление (событие) можно иногда охарактеризовать частостью. Назовем относительной частотой (частостью) какого либо события отношение числа появления этого события к числу всех произведенных испытаний, в каждом из которых при одинаковых условиях событие могло наступить или не наступить. Примерами частости могут служить: доля родившихся за год мальчиков, удельный вес нестандартных деталей в партии и т.п. Если частость случайного явления в сериях из большого числа испытаний почти постоянна, то есть колеблется незначительно около некоторой постоянной величины, то этому явлению присуща устойчивость частости. Например, статистика показывает, что рождаемость мальчиков обладает этим свойством. Случайные события или явления с устойчивой частостью широко распространены в физике, экономике, биологии, машиностроении и других отраслях науки.

Таким образом, теория вероятностей есть раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) с устойчивой частостью и выявляются закономерности при массовом их повторении.

 

§ 2. Случайные события

Под испытанием понимается реализация какого-либо эксперимента, наблюдения, которые могут производиться неограниченное число раз. При этом эксперимент включает в себя случайные факторы, влияние которых в каждом испытании приводит к неоднозначности исхода испытания. Целью испытаний является получение тех или иных результатов.

Событиями называются возможные исходы испытаний. Обозначаются события: A, B, C и т.д. На основе различных признаков события можно классифицировать следующим образом:

по возможности появления:

· достоверные

· невозможные

· случайные

по совместности появления:

· совместные (происходят одновременно)

· несовместные (происходят не одновременно)

по взаимозависимости:

· зависимые (возможность появления одного зависит от наступления другого)

· независимые (возможность появления одного не зависит от наступления или отсутствия другого события);

по сложности:

· элементарные события - возможные, исключающие друг друга результаты одного испытания

· сложные события, состоящие из других событий.

Полной группой событий называют совокупность событий, из которых хотя бы одно должно произойти.

Противоположными называются два несовместных события образующих полную группу событий. Обозначаются: .

Элементарным событием называется конкретный результат испытания. В результате испытания происходят только элементарные события.

Пространством элементарных событий называется совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний.

Количественное описание правдоподобия отдельных исходов и событий основывается на понятии вероятности.

Вероятностью события А называется отношение числа m равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию А к числу n всех возможных элементарных событий, образующих полную группу:

,

где n – общее число равновозможных событий, а m – число тех событий, при которых происходит интересующий исход.

Это классическое определение вероятности дано Полем Лапласом.

Вероятность можно также определить как предел частости при бесконечно большом числе испытаний. Иными словами частота (частость) приблизительно равна вероятности, если число испытаний очень велико. Это определение вероятности называется статистическим.

Пример. Пусть следует вычислить вероятность события А - «при бросании двух костей выпало 8 очков».

Решение. При бросании двух костей могут получиться следующие равновозможные результаты:

I II I II I II I II I II I II
1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1
1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2
1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3
1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4
1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5
1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6

Как видно, всего возможных результатов 36. Подчеркнем те случаи, когда произошло событие А. Таких случаев 5 - все они равновозможны. Таким образом, получаем: .

Пример. Из набора, содержащего 10 одинаковых на вид электроламп, среди которых 4 бракованных, случайным образом выбирается 5 ламп. Какова вероятность, что среди выбранных ламп будут 2 бракованные?

Решение. Прежде всего отметим, что выбор любой пятерки ламп имеет одну и ту же вероятность. Всего существует способов составить такую пятерку, то есть случайный эксперимент в данном случае имеет равновероятных исходов.

Каждую интересующую нас пятерку можно составить так: выбрать две бракованные лампы, что можно сделать числом способов, равным . Каждая пара бракованных ламп может встретиться столько раз, сколькими способами ее можно дополнить тремя не бракованными лампами, то есть раз. Получается, что число пятерок, содержащих две бракованные лампы, равно × .

Отсюда, обозначив искомую вероятность через P, получаем:

.

Приведем свойства вероятности события:

1. Так как , то , каково бы ни было по своей природе событие А.

2. Если А - событие невозможное, то .

3. Если В- событие достоверное, то .

Некоторые задачи можно решать значительно проще с использованием простейших теорем теории вероятностей.

Суммой или объединением двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Обозначается: С=А+В.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность наступления одного из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей, то есть

.

Следствие 1. Если события А, В, С образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна 1.

Следствие 2. Сумма вероятностей двух противоположных событий А и равна 1.

Пример. Пусть вероятность того, что в магазине очередной будет продана пара мужской обуви 44-го размера, равна 0.12, 45-го - 0.04, 46-го или большего - 0.01. Найти вероятность того, что очередной будет продана пара мужской обуви не менее 44-го размера.

Решение. Искомое событие D произойдет, если будет продана пара обуви 44-го размера (событие А), или 45-го (событие В), или не менее 46-го (событие С), то есть событие D есть сумма событий А, В, С. События А, В, С несовместны. Поэтому, применяя теорему сложения вероятностей, получим:

.

Пример. Сохраняя начальные условия предыдущего примера найти вероятность того, что очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера.

Решение. События «очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера» и «будет продана пара обуви размера не меньше 44-го» - противоположные. Поэтому вероятность искомого события , поскольку .

Произведением или пересечением событий А и В называется событие С, состоящее в совместном наступлении этих событий, то есть в наступлении и события А, и события В. Обозначается: С=АВ.

Событие А зависимо от события В, если вероятность появления события А зависит от того, произошло или нет событие В.

Условной вероятностью события В называется вероятность события В при условии, что событие А уже наступило. Обозначается: P(B/A) или PA(В).

Пример. В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом испытании. Событие А – появление белого шара при втором испытании.

Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет . Вероятность события А при условии, что событие В не произошло, будет .

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий, то есть вероятность совместного наступления событий А и В, равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, то есть

или .

Следствие. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей, то есть .

Пример. На десяти карточках напечатаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Найти вероятность того, что три наудачу взятые и поставленные в ряд карточки составят число 125.

Решение. Искомое событие D произойдет, если первой будет взята карточка с цифрой 1 (событие А), вторая - с цифрой 2 (событие В), третья - с цифрой 5 (событие С). Вероятность его по теореме умножения вероятностей для трех независимых событий:

.

Теорема сложения вероятностей для случая, когда события совместны. Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, то есть

.

Пример. Подбрасываем две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?

Решение. Событие А - «появление герба при подбрасывании первой монеты», событие В - «появление герба при подбрасывании второй монеты». Так как А и В - совместные события, то

.

Некоторые задачи можно решать особым приемом, который приводит к формуле полной вероятности (объединение теорем сложения и умножения).

Теорема. Вероятность события А, которое может произойти при осуществлении одного из несовместных событий В1, В2 , В3,..., Вn, образующих полную группу, определяется формулой

.

Замечание. События В1, В2 , В3,..., Вn называются гипотезами.

Пример. В ящике лежат 10 теннисных мячей, в том числе 8 новых и 2 игранных. Для игры наудачу выбирается два мяча, и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры наудачу извлекаются еще два мяча, Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

Решение. Событие А - «для второй игры взято два новых мяча». Для решения, исходя из условия, удобно задать три гипотезы:

В1 - «для первой игры взято два новых мяча»;

В2 - «для игры взяты новый и играный мяч»;

В3 - «для первой игры взято два играных мяча». Их вероятности вычисляются по формуле классической вероятности (для подсчета числа событий используются формулы комбинаторики):

; ; .

Проверка: .

В результате осуществления гипотезы В1 в ящике останется 6 новых и 4 игранных мяча, поэтому . В результате осуществления гипотезы В2 в ящике останется 7 новых из 10, поэтому . Аналогично, . Таким образом:

.

Замечание. В одной и той же задаче могут быть выбраны разные наборы гипотез. Желательно формулировать гипотезы так, чтобы их вероятности, а также и условные вероятности вычислялись проще.

При решении практических задач, когда событие А, появляющееся совместно с каким-либо из несовместных событий В1, В2 , В3,..., Вn, которые образуют полную группу, произошло и требуется произвести количественную переоценку вероятностей событий В1, В2 , В3,..., Вn применяются формулы Бейеса(Bayes):

Пример. Из 10 студентов, которые пришли на экзамен по математике, трое подготовились отлично, четверо хорошо, двое удовлетворительно, а один совсем не готовился - понадеялся на то, что и так все знает. В билетах 20 вопросов. «Отличники» могут ответить на все вопросы, «хорошисты» - на 16 вопросов, не подготовившиеся - на 5 вопросов, остальные - на 10 вопросов. Каждый студент получает 3 вопроса из 20. Первый отвечающий ответил на все 3 вопроса. Какова вероятность, что он отличник?







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 3165. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Методы анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия   Содержанием анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия является глубокое и всестороннее изучение экономической информации о функционировании анализируемого субъекта хозяйствования с целью принятия оптимальных управленческих...

Образование соседних чисел Фрагмент: Программная задача: показать образование числа 4 и числа 3 друг из друга...

Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...

Виды нарушений опорно-двигательного аппарата у детей В общеупотребительном значении нарушение опорно-двигательного аппарата (ОДА) идентифицируется с нарушениями двигательных функций и определенными органическими поражениями (дефектами)...

Особенности массовой коммуникации Развитие средств связи и информации привело к возникновению явления массовой коммуникации...

Тема: Изучение приспособленности организмов к среде обитания Цель:выяснить механизм образования приспособлений к среде обитания и их относительный характер, сделать вывод о том, что приспособленность – результат действия естественного отбора...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия