Задача №8 6 страница

1. Записати варіаційні ряди вибірок випадкових величин , .

2. Обчислити числові характеристики вибірок , : , , , , , .

3. При рівні значущості , скориставшись F – критерієм, перевірити гіпотезу .

4. При рівні значущості , скориставшись t – критерієм, перевірити: чи можна вважати розходження між середніми і випадковим, чи воно є суттєвим і викликано відмінностями технологічних процесів на підприємствах

і ;

5. При рівні значущості , вважаючи , перевірити гіпотезу , при альтернативній гіпотезі , і, якщо гіпотеза приймається, то знайти ймовірність b (можливої) помилки другого роду. З’ясувати яким має бути об’єм вибірки n, щоб ймовірність b була не більшою 0,01.

6. При рівні значущості перевірити гіпотезу при альтернативних гіпотезах: і .

118,2 120,3 115,6 121,2 123,4 123,8 116,2 119,4 122,2 121,4.

122,0 121,6 117,2 123,1 124,2 125,6 117,0 120,5 124,1 123,2.

Зауваження. Якщо номер варіанта розрахункової роботи: непарний і не кратний 3, то , парний і не кратний 3, то , і кратний 3, то .

Розв’язання

1. Виписуємо варіаційні ряди вибірок випадкових величин і :

: 115,6 116,2 118,2 119,4 120,3 121,2 121,4 122,2 123,4 123,8.

: 117,0 117,2 120,5 121,6 122,0 123,1 123,2 124,1 124,2 125,6.

2. Обчислюємо числові характеристики вибірок , :

(115,6 + 116,2 + 118,2 + 119,4 + 120,3 + 121,2 + 121,4 + 122,2 + +123,4 + 123,8) = 120,17.

(117,0 + 117,2 + 120,5 + 121,6 + 122,0 + 123,1 + 123,2 +124,1 + +124,2 + 125,6) = 121,85.

;

= 14447,973 - 120,17² = 7,1441» 7,14.

2,6728...» 2,67.

(117,0² + 117,2² + 120,5² + 121,6² + 122,0² + 123,1² +123,2² + +124,1² + 124,2² + 125,6² ) = 14854,931;

14854,931 - 121,85² = 7,5085» 7,51.

= 2,74016...» 2,74.

3. Перевіряємо гіпотезу про рівність дисперсій випадкових величин , .
3.1. ; . 3.2. ,

.

3.3. .

3.4.

.

;

;

;

.

3.5. .

, отже, гіпотезу про рівність дисперсій приймаємо.

4. Перевіряємо, чи можна вважати розходження між середніми і випадковим, чи воно є суттєвим. 4.1. ; . 4.2. ,

4.3. .

4.4.

= 2,101 (табл. 5),

або

(табл. 9);

.

4.5.

.

, отже, гіпотезу про рівність математичних сподівань приймаємо, тобто розходження між середніми , можна вважати випадковим.

5. Вважаючи , перевіряємо гіпотезу і, якщо гіпотеза приймається, то шукаємо ймовірність b (можливої) похибки другого роду. З’ясуємо, яким має бути об’єм вибірки n, щоб ймовірність b була не більшою 0,01.

8. 5.1. ; .

9. 5.2. ,

.

5.3. .

5.4. ;

(табл. 2),

або

(табл. 3).

.

5.5. , отже, гіпотезу приймаємо.

5.6. Прийнявши гіпотезу , ми можемо зробити похибку другого роду. Її ймовірність b шукаємо за формулою

 

5.7. З’ясуємо яким має бути об’єм вибірки n, щоб ймовірність b була не більшою 0,01:

{

(табл. 2)} .

6.Перевіряємо гіпотезу (, знайдено в пункті 2) при альтернативних гіпотезах і . d рар6.1. ; і . ппі6.2. , пааааааааааапааа

6.3. .

6.4.

6.4.1.

(табл. 4).

.

6.4.2.

(табл. 4).

.

 

6.5.

6.5.1

, отже, гіпотезу приймаємо, відповідно гіпотезу – відхиляємо.

6.5.2.

, отже, гіпотезу приймаємо, відповідно гіпотезу – відхиляємо.

Таблиці та вказівки до їх використання.

 

У таблиці 1 табульовано функцію

.

– щільність розподілу випадкової величини , тобто щільність стандартного нормального розподілу. – парна функція: .

Приклади:

У таблиці 2 табульовано функцію

.

– функція Лапласа або інтеграл ймовірностей. Графік має вигляд (рис. 3). – непарна функція: , .

Приклади:

Функцію введено для обчислення інтеграла

,

оскільки невизначений інтеграл через елементарні функції не виражається.

Згаданий інтеграл ймовірностей визначає: ймовірність попадання випадкової величини в інтервал , за формулою

;

ймовірність попадання випадкової величини в інтервал , за формулою

,

і, відповідно до інтегральної теореми Муавра – Лапласа приблизно визначає ймовірність того, що у біноміальному експерименті “успіх” відбудеться від a до b раз за такою формулою:

, .

використовується при відшуканні:

1. Коефіцієнта g - надійних інтервалів для математичного сподівання m нормального розподілу і для моментів розподілів, відмінних від нормального, відповідно до співвідношенням:

.

2. Критичних точок розподілу для лівосторонньої, правосторонньої і двосторонньої критичних областей відповідно до співвідношення:

Приклади:

У таблиці 3 табульовано квантилі (наголос на передостанньому складі) стандартного нормального розподілу , тобто числа , що є розв’язками рівняння

Квантилі рівня (порядку) p, знаходять за допомогою цієї ж таблиці 3 за формулою

.

Приклади:

Зауваження. Відмітимо, що квантилі стандартного нормального розподілу можна, правда з меншою точністю, знайти з таблиці 2 функції відповідно до співвідношення

.

Квантилі розподілу використовуються при відшуканні:

1. Коефіцієнта g - надійних інтервалів для математичного сподівання m розподілу і моментів розподілів, відмінних від нормального за формулою

.

2. Критичних точок розподілу для лівосторонньої, правосторонньої і двосторонньої критичних областей відповідно до співвідношення:

У таблиці 4 табульовано квантилі розподілу , тобто числа , де k – число ступенів вільності, що є розв’язками рівняння

Приклади:

Квантилі розподілу використовуються при відшуканні:

1. Коефіцієнтів , g -надійного інтервалу для середнього квадратичного відхилення і дисперсії нормального розподілу за формулами:

, .

2. Критичних точок розподілу для лівосторонньої, правосторонньої і двосторонньої критичних областей відповідно до співвідношень:

У таблиці 5 табульовано квантилі t -розподілу Стьюдента, тобто числа , де k – число ступенів вільності, що є розв’язками рівняння

,

Квантилі рівня (порядку) p, знаходять за допомогою цієї ж таблиці 5 за формулою

.

Приклади:

Квантилі t -розподілу Стьюдента використовуються при відшуканні:

1. Коефіцієнта g -надійного інтервалу для математичного сподівання m нормального розділу при невідомому за формулою

.

2. Критичних точок t -розподілу Стьюдента для лівосторонньої, правосторонньої і двосторонньої критичних областей відповідно до співвідношень:

У таблиці 6 табульовано квантилі F -розподілу Фішера (Фішера – Снедекора), тобто числа , що є розв’язками рівняння

.

Квантилі рівня (порядку) ; 0,05; 0,025; 0,01; 0,005; 0,001, знаходять з цієї ж таблиці 6 за формулою

.

Приклади:

Квантилі розподілу Фішера використовуються при відшуканні критичних точок Фішера для лівосторонньої, правосторонньої і двосторонньої критичних областей відповідно до співвідношеннь:

У таблиці 7 табульовано значення (числа) , де g – надійність (ймовірність), k – число ступенів вільності, що є розв’язками рівняння

Ймовірність g називається надійністю і потрібні значення (числа) в основному для відшукання g -надійного інтервалу для невідомого математичного сподівання m нормального розподілу при невідомому . знаходять безпосередньо з таблиці.

Приклади:

.

Таблицю 7 також

використовують при відшуканні критичних точок t –розподілу Стьюдента для лівосторонньої, правосторонньої і двосторонньої критичних областей у відповідності із співвідношеннями

Зауваження. Зазначимо, що зв’язок між значеннями таблиці 5 (квантилів t -розподілу Стьюдента) і значеннями таблиці 7 (значеннями , що є розв’язками рівняння ), визначається рівностями:

Таблиці

1. Значення функції

0,0	0,3989	0,3989	0,3989	0,1988	0,3986	0,3984	0,3982	0,3980	0,3977	0,3973
0,1	0,3970	0,3965	0,3961	0,3956	0,3951	0,3945	0,3939	0,3932	0,3925	0,3918
0,2	0,3910	0,3902	0,3894	0,3885	0,3876	0,3867	0,3857	0,3847	0,3836	0,3825
0,3	0,3814	0,3802	0,3790	0,3778	0,3765	0,3752	0,3739	0,3726	0,3712	0,3697
0,4	0,3683	0,3668	0,3652	0,3637	0,3621	0,3605	0,3589	0,3572	0,3555	0,3538
0,5	0,3521	0,3503	0,3485	0,3467	0,3448	0,3429	0,3410	0,3391	0,3372	0,3352
0,6	0,3332	0,3312	0,3292	0,3271	0,3251	0,3230	0,3209	0,3187	0,3166	0,3144
0,7	0,3123	0,3101	0,3079	0,3056	0,3034	0,3011	0,2989	0,2966	0,2943	0,2920
0,8	0,2897	0,2874	0,2850	0,2827	0,2803	0,2780	0,2756	0,2732	0,2709	0,2685
0,9	0,2661	0,2637	0,2613	0,2589	0,2565	0,2541	0,2516	0,2492	0,2468	0,2444
1,0	0,2420	0,2396	0,2371	0,2347	0,2323	0,2299	0,2275	0,2251	0,2227	0,2203
1,1	0,2179	0,2155	0,2131	0,2107	0,2083	0,2059	0,2036	0,2012	0,1989	0,1965
1,2	0,1942	0,1919	0,1895	0,1872	0,1849	0,1826	0,1804	0,1781	0,1758	0,1736
1,3	0,1714	0,1691	0,1669	0,1647	0,1626	0,1604	0,1582	0,1561	0,1539	0,1518
1,4	0,1497	0,1476	0,1456	0,1435	0,1415	0,1394	0,1374	0,1354	0,1334	0,1315
1,5	0,1295	0,1276	0,1257	0,1238	0,1219	0,1200	0,1182	0,1163	0,1145	0,1127
1,6	0,1109	0,1092	0,1074	0,1057	0,1040	0,1023	0,1006	0,0989	0,0973	0,0957
1,7	0,0940	0,0925	0,0909	0,0893	0,0878	0,0863	0,0848	0,0833	0,0818	0,0804
1,8	0,0790	0,0775	0,0761	0,0748	0,0734	0,0721	0,0707	0,0694	0,0681	0,0669
1,9	0,0656	0,0644	0,0632	0,0620	0,0608	0,0596	0,0584	0,0573	0,0562	0,0551
2,0	0,0540	0,0529	0,0519	0,0508	0,0498	0,0488	0,0478	0,0468	0,0459	0,0449
2,1	0,0440	0,0431	0,0422	0,0413	0,0404	0,0396	0,0387	0,0379	0,0371	0,0363
2,2	0,0355	0,0347	0,0339	0,0332	0,0325	0,0317	0,0310	0,0303	0,0297	0,0290
2,3	0,0283	0,0277	0,0270	0,0264	0,0258	0,0252	0,0246	0,0241	0,0235	0,0229
2,4	0,0224	0,0219	0,0213	0,0208	0,0203	0,0198	0,0194	0,0189	0,0184	0,0180
2,5	0,0175	0,0171	0,0167	0,0163	0,0158	0,0154	0,0151	0,0147	0,0143	0,0139
2,6	0,0136	0,0132	0,0129	0,0126	0,0122	0,0119	0,0116	0,0113	0,0110	0,0107
2,7	0,0104	0,0101	0,0099	0,0096	0,0093	0,0091	0,0088	0,0086	0,0084	0,0081
2,8	0,0079	0,0077	0,0075	0,0073	0,0071	0,0069	0,0067	0,0065	0,0063	0,0061
2,9	0,0060	0,0058	0,0056	0,0055	0,0053	0,0051	0,0050	0,0048	0,0047	0,0043
3,0	0,0044	0,0043	0,0042	0,0040	0,0039	0,0038	0,0037	0,0036	0,0035	0,0034
3,1	0,0033	0,0032	0,0031	0,0030	0,0029	0,0028	0,0027	0,0026	0,0025	0,0025
3,2	0,0024	0,0023	0,0022	0,0022	0,0021	0,0020	0,0020	0,0019	0,0018	0,0018
3,3	0,0017	0,0017	0,0016	0,0016	0,0015	0,0015	0,0014	0,0014	0,0013	0,0013
3,4	0,0012	0,0012	0,0012	0,0011	0,0011	0,0010	0,0010	0,0010	0,0009	0,0009
3,5	0,0009	0,0008	0,0008	0,0008	0,0008	0,0007	0,0007	0,0007	0,0007	0,0006
3,6	0,0006	0,0006	0,0006	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0004
3,7	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003
3,8	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002
3,9	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0001	0,0001

2. Значення функції