Числовые характеристики непрерывных с.в.

Предположим,что интеграл абсолютно сходится.

Опр1.Математическим ожиданием непрерывной с.в. Х наз-ся Mx=ИНТЕГРАЛ(-беск,+беск) x*f(x)dx.

Например: f(x)= {1/2 cosx, x принадлежит [-П/2;П/2]

0, х не принадлежит [-П/2;П/2]

MX= Интеграл(-П/2;П/2) х*1/2cosx*dx=[замена:u=x, du=dx, dv=1/2cosxdx, v=1/2sinx] = uv-интеграл v*du= x*1/2sin x|(от-П/2;доП/2) - интеграл (-П/2;П/2) 1/2sinx*dx=П/2*1/2*1-(П/2)*1/2*(-1)+1/2cosx|(-П/2;П/2)=0

Примеры расчета м.о. для непрерывных распределений:

1.Равномерное(непрерывное распр-е) на [a;b]. F(x)={1/b-a, при х(пренадлеж. [a;b]; 0, при х не пренадлеж.

MX=integral (от a до b) x-1/b-a по dx=x^2/2*1/b-a(прямая черта внизу а, вверху b)= b^2-a^2/2(b-a)=a+b/2

MX=(a+b)/2

2.Показательное распределение с параметром лямбда: MX=1/лямбда

3.Нормальное распределение N(a,sigma^2): МХ=а

Опр.2.Дисперсией непрерывной случайной величины наз-ся DX=M[(X-MX)^2]=Интеграл(-8,+8) (x-MX)^2*f(x)dx=Интеграл(-8,+8) x^2*f(x)dx-(интеграл (-8,+8)(*x*f(x)*dx)^2,где f(x)-плотность распр-я с.в.

Примеры расчета дисперсии:

1.Равномерное непрерывное распр-е:DX=(b-a)^2/12

2.Показательное распределение с параметром лямбда: DX=1/лямбда^2

3.Нормальное распределение N(a,sigma^2): DX=sigma^2

Опр.Для непрерывной с.в. начальный момент порядка к равен MX^k=интеграл(-8,+8) x^kf(x)dx.

Опр.Для непрерывной с.в. центральный момент порядка к равен M(X-MX)^k=интеграл(-8,+8) (x-MX)^k*f(x)dx.

Опр.Ковариацией 2ух непр.с.в. X и Y наз-ся cov(X,Y)= интеграл(-8,+8) (x-MX)(y-MY) f(x;y)dxdy,где f(x,y)-совместная плотность распр-я.

Квантилью уровня альфа(0<alpha<1) с.в. Х наз-ся число Qalpha,удовлетворяющее условиям P(X<Qalpha) <=alpha и P(X>Qalpha) <=1-alpha.

Квантиль наз-ся медианой,если альфа=0,5.Для непрерывной с.в.квантиль задается уравнением F(Qalpha)=alpha.

Мода непр. Случ. Велич. Наз-ся точка максимума плоскости Xd:f(Xd)=maxf(x)

Мода лискр. Случ. Велич.-это такое значение: Xd:P(Xd)=maxPi