Теория волн пространственного заряда в электронном потоке

 

Рассмотрим вывод дисперсионного уравнения для волн пространственного заряда, распространяющихся в электронном потоке в безграничном пространстве. Вывод строится на основании уравнений электродинамики и гидродинамики:

уравнения движения:

d v /dt = e E /m (2-1)

уравнения непрерывности:

¶r/¶t + div(r v) = 0 (2-2)

уравнения Пуассона

div E = r/e₀e^*, (2-3)

где e₀ - диэлектрическая постоянная, e^* - относительная диэлектрическая проницаемость среды, для вакуума e^* = 1.

 

 

 

Примечание: Заметим, что направляемые ТЕМ волны имеют фазовую скорость, v_ф =c. Электронные же пучки всегда имеют скорость v₀ < c_. Поэтому, чтобы добиться выполнение условия v_ф = v₀ < c для замедления электромагнитных волн нужно использовать замедляющие структуры.

Используются следующие допущения: а) решается одномерная задача: направления электрического поля волн, возмущений плотности зарядов совпадают с направлением потока; б) переменные составляющие всех величин много меньше их постоянных значений: r << r₀; v << v₀; в) постоянная составляющая электронного пространственного заряда в пучке скомпенсирована ионами. С учетом этих допущений уравнения (2-1) - (2-3) принимают вид:

¶v/¶t + v₀¶v/¶z = ( e/m)E; (2-4)

¶r¶t +r₀ ¶v/¶z + v₀ ¶r/¶z = 0; (2-5)

¶E/¶z = r /e₀ . (2-6)

Запишем решение для любой переменной (r, v или E) в общем виде:

A = A_mexp{i(wt - gz)}, (2-7)

где g - постоянная распространения волны (действительная величина).

После подстановки (2-7) в (2-4) - (2-6) получаем систему алгебраических уравнений:

iwv - i gv₀v = (e/m)E (2-8)

iwr - igr₀v -igv₀r = 0 (2-9)

- igE = r /e₀ (2-10)

Совместные преобразования уравнений дают новое уравнение, устанавливающее связь между характеристиками волны и потока электронов:

(w - gv₀)² = er₀/(e₀m) (2-11)

или (w - gv₀)² = w_b², (2-12)

где w_b² = [er₀/(e₀m)]^1/2 - плазменная частота электронного потока.

Полученное дисперсионное уравнение показывает, что при данной частоте w существует два значения постоянной распространения g:

g₁ = (w + w_b)/v₀ и g₂ = (w - w_b)/v₀, (2-13)

которые соответствуют двум волнам с разными фазовыми скоростями v_ф = w/g_1,2:

v_ф1 = v₀(1 + w_b/w)^-1 и v_ф2 = v₀(1 - w_b/w)^-1, первая (1) из которых медленнее самого потока (v_ф1< v₀), а вторая (2) - быстрее (v_ф1> v₀).

Покажем, что энергосодержание этих волн различно. Для этого проведем вычисление средней плотности кинетической энергии для каждой волны, вычтя из полной энергии W_к соответствующую энергию немодулированного потока W_к0:

W_к - W_к0 = (2e l) ^-1 m(v₀ + v)²(r₀ + r)dz, - m v₀² r₀/2e (2-14)

Интегрирование проводится в объеме, ограниченном единичной площадкой поперек потока и длиной l, соответствующей длине каждой из волн. Подставив в (2-14) выражения для v и r в форме (2-7) и проведя отдельно интегрирование каждого из слагаемых и суммируя их, получаем:

W_к - W_к0 = (mr₀v_m²/4e) [1 ± 2(w_b±w)/w_b], (2-15)

Здесь v_m - амплитуда модуляции скорости электронов в волне; верхние знаки соответствуют медленной волне (1), а нижние - быстрой волне. Определим теперь избыток плотности энергии в модулированном электронном потоке DW_{1, 2}, добавив к (2-15), усредненную по l плотность энергии электрического поля волн

 

W_e = mr₀v_m²/4e, т.е.: (2-16)

DW = W_к - W_к0 + W_e, (2-17)

что после несложных преобразований дает:

DW₁ = - (mr₀v_m²/2e)w/w_b для медленной волны (2-18)

и DW₂ = + (mr₀v_m²/2e)w/w_b для быстрой волны. (2-19)

 

Таким образом, медленная волна имеет дефицит энергии по отношению к невозмущенному потоку, а быстрая ее - избыток. Это значит, что медленная волна будет усиливаться, отбирая у него излишек энергии, а быстрая волна, наоборот, будет затухать, отдавая потоку свой избыток энергии. Характерно и то, что фазы волн плотности заряда и волн скорости у обеих волн различны (Рис.2-3). У быстрой волны максимумы плотности электронов совпадают с максимумами их скорости (а), а у медленной - они в противофазе (б), что и предопределяет низкое энергосодержание этой волны и ее способность к усилению. Передача энергии от электронного потока к медленной волне приводит к увеличению ее амплитуды, что, в свою очередь, усиливает группирование потока. Благодаря положительной обратной связи, оба процесса развиваются экспоненциально быстро по направлению течения электронного потока вдоль замедляющей системы. Чтобы отобрать энергию из медленной волны пространственного заряда необходимо обеспечить ее синхронизм с электромагнитной волной замедляющей системы, в которую в конечном счете перекачивается кинетическая энергия электронов при посредничестве медленной волны пространственного заряда. Замедляющие системы направляемых электромагнитных волн неизбежно ограничивают рассматривавшийся теорией безграничный поток электронов в направлении, поперечном распространению волн и самого потока. Поэтому теория ЛБВ должна учитывать обстоятельства, связанные с этим ограничением.