Пример 8.1.

Определить степень кинематической неопределимости рам, показанных на рисунке 8.5.

Рис. 8.5,а: n_θ = 5, так как рама имеет пять жестких узлов (А, B, C, D, E); n_Δ = W = 2Y − C − C_o = 2 · 6 − 7 − 2 = 3 (узлы шарнирной схемы 1 – 6; стержни, соединяющие эти узлы: 12, 23, 45, 56, 14, 25, 36; опорные связи 44′, 66′); n_kin = n_θ +n_Δ = 5 + 3 = 8.

Рис. 8.5,б: n_θ = 2 (узлы А и В); n_Δ = W = 2 · 2 − 1 − 3 = 0 (узлы шарнирной схемы 1 и 2; стержень, соединяющий эти узлы 12, опорные связи 11′, 22′, 22′′); n_kin = 2 + 0 = 2.

Рис. 8.5,в: n_θ = 3 (узлы А, В, С); n_Δ = W = 2 · 7 − 6 − 6 = 2 (узлы шарнирной схемы 1 – 7; стержни, соединяющие эти узлы 12, 23, 34, 45, 56, 67; опорные связи 11′, 22′, 33′, 55′, 66′, 77′); n_kin = = 3 + 2 = 5.

 

Рис. 8.5

 

8.2. Основная система метода перемещений

 

Основная система метода перемещений (ОСМП) образуется наложением на узлы сооружения связей, препятствующим их угловым и линейным перемещениям (рис.8.6). Если число наложенных на узлы угловых и линейных связей совпадает со степенью кинематической неопределимости сооружения, то в основной системе метода перемещений все узлы будут неподвижными.

Рис.8.6

 

Получаемая в результате система, называется основной сис­темой метода перемещений. Например, для расчета задан­ной системы, изображенной на рис.8.6, a по методу перемещений основная система будет иметь вид, представлен­ный на рис.8.6, б. При этом n_kin = n_θ + n_Δ = 6 + 2 = 8.

Наложение связей повышает степень статической неопределимости сооружения, т.е. с позиций метода сил усложняет его расчет. Однако такой способ выбора основной системы позволяет представить любую, в частности плоскую стержневую систему, в виде набора стандартных стержней трех типов (рис. 8.7). На любое воздействие (силовое, температурное, кинематическое) каждый из этих произвольно ориентированных на плоскости стержней может быть рассчитан, например, методом сил.

Далее будет показано, что используя результаты расчета стержней, т.е. имея набор стандартных задач и используя основную систему метода перемещений, мы сможем определить угловые и линейные перемещения узлов сооружения от заданного воздействия (см. п.п. 8.3–8.6 настоящей лекции).

При выборе основной системы метода перемещений угловые связи накладываются на узлы сооружения и препятствуют только их поворотам. Такие связи называются «плавающими» заделками. Линейные связи, число которых определяется по формуле 8.2, на узлы накладываются так, чтобы шарнирная схема заданного сооружения была геометрически неизменяемой.

Пример 8.2. Для рам, показанных на рис. 8.5, выбрать основные системы метода перемещений.

 

Рис. 8.8

 

Рис. 8.5,а (n_θ = 5, n_Δ = 3). Угловые связи 1–5 накладываются на жесткие узлы A, B, C, D, E (рис. 8.8). Наложение линейных связей 6–8 на узлы может быть произведено различными способами. На рис. 8.8 показано два варианта размещения линейных связей 6–8. Предлагается выполнить кинематический анализ шарнирной схемы рамы, для каждого из вариантов основной системы метода перемещений и убедиться в правильности размещения линейных связей, т.е. в геометрической неизменяемости шарнирной схемы рамы.

Рис. 8.5,б (n_θ = 2, n_Δ = 0). Так как для этой рамы n_Δ = 0 (см. пример 8.1), при выборе основной системы метода перемещений накладываются только угловые связи 1 и 2, препятствующие поворотам узлов А и В (рис. 8.9). Шарнирная схема этой рамы геометрически неизменяема, т.е. не требует наложения дополнительных линейных связей на узлы.

 

Рис. 8.5,в (n_θ = 3, n_Δ = 2). Угловые связи 1 и 2 накладываются на жесткие узлы А, В, С.

На рис. 8.10 показаны два варианта наложений на узлы рамы линейных связей 4 и 5. С учетом симметрии рамы предпочтение следует отдать симметричному варианту размещения линейных связей. В двадцать первой лекции будет показано, что использование симметричных основных систем метода перемещений так же, как и метода сил, существенно упрощает расчет сооружений.

 

Рис. 8.10

 

8.3. Система канонических уравнений метода перемещений

 

Плоская стержневая система с известной топологией и геометрическими размерами испытывает произвольное силовое воздействие (рис. 8.11,а). Изгибную жесткость поперечного сечения стержней, расположенных между узлами сооружения, будем считать постоянной (EJ_k = const).

Поскольку в задан­ной системе имеют мес­то и повороты, и линей­ные смещения узлов, то основной системе надо придать такие же повороты и смещения, при этом добиваясь ра­венства нулю реакций во всех введенных связях, сопротивляющих­ся этим поворотам и смещениям. Тогда можно утверждать, что заданная и основная система в нагруженном состоянии являются эквивалентными.

 

Рис. 8.11

 

Степень кинематической неопределимости сооружения равна n. Накладывая на его узлы n угловых и линейных связей, образуем основную систему метода перемещений (рис. 8.11,б). Неизвестные угловые и линейные перемещения узлов Z₁, Z₂,…, Z_i,…, Z_j,…, Z_n определим из условия эквивалентности напряженно-деформированных состояний заданного сооружения (рис. 8.11,а) и его основной системы метода перемещений (рис. 8.11,б), т.е. из условий равенства нулю реакций в наложенных связях от их смещения на величины Z₁, Z₂,…, Z_i,…, Z_j,…, Z_n и от действующей нагрузки. Другими словами, подбор перемещений угловых и линейных связей в основной системе метода перемещений мы осуществляем, отрицая реакции в наложенных связях, ибо в заданном сооружении этих связей нет.

R₁ = 0, R₂ = 0,…, R_i = 0,…, R_j = 0,…, R_n = 0. (8.3)

Используя принцип независимости действия сил, реакции соотношения (8.3) представим в виде суммы реакций от смещений каждой из наложенных связей на величину, совпадающую с величиной соответствующего перемещения узла в заданном сооружении, и от приложенной нагрузки:

 

………………………………………………………………... (8.4)

………………………………………………………………...

 

В соотношениях (8.4): и соответственно реакции в i-й наложенной связи в основной системе метода перемещений от заданной нагрузки и смещения j-й связи на величину, равную Z_j. В соответствии с принципом пропорциональности реакции в наложенных связях запишем так:

 

……………..

(8.5)

……………..

……………..

 

Из формул (8.5) следует смысл коэффициентов r_ii и r_ij. Это реакции в i-й наложенной связи, соответственно от смещения i-й и j-й наложенных связей на величину, равную единице, в основной системе метода перемещений.

Подставляя выражения (8.5) в соотношения (8.4), в общем виде получим систему канонических уравнений метода перемещений:

(8.6)

В системе уравнений (8.6) коэффициенты при неизвестных r_ii, расположенные на главной диагонали, называются главными, коэффициенты r_ij – побочными, свободные члены R_iF – грузовыми коэффициентами. При этом побочные коэффициенты r_ij и r_ji подчиняются теореме о взаимности реакций, т.е. r_ij = r_ji.

Решению системы уравнений (8.6) предшествует определение коэффициентов при неизвестных r_ii, r_ij и свободных членов R_iF.

Для определения этих коэффициентов системы канонических уравнений метода перемещений (8.6) необ­ходимо предварительно построить эпюры моментов в основной системе от заданной системы внешних сил и от единичных переме­щений Z_i = 1. Все коэффициенты, а также свободные члены урав­нений разделяются на две группы: коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные моменты во введенных допол­нительных элементах; коэффициенты и свободные члены, пред­ставляющие реактивные усилия во введенных дополнительных эле­ментах основной системы.

Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактив­ные моменты во введенных элементах, определяются вырезанием узлов и составлением уравнений равновесия моментов S М = 0, со­гласно методу сечений.

Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактив­ные усилия во введенных связях основной системы определяются разрезанием элементов рамы и составлением уравнения равновесия сил на отсеченной части S y = 0. При этом направление оси y вы­бирается так, чтобы уравнение получилось наиболее простым по форме.

Следовательно, для того, чтобы построить эпюру моментов в основной системе от действия системы внешних сил и от Z_i = 1 (i = 1, 2,..., n), необходимо предварительно определить эпюру мо­ментов в однопролетных статически неопределенных стержнях (входящих в состав основной системы, за исключением дополни­тельных элементов). Откуда следует, что в общем случае для реали­зации метода перемещений необходимо предварительно рассмот­реть решение задачи об определении эпюр внутренних усилий в однопролетных статически неопределимых стержнях при кинема­тическом (линейном и угловом перемещении концевых сечений) и внешнем силовом и температурном нагружении.

Проверкой правильности расчета рамы методом перемещений служат равенство нулю суммы моментов, передающихся на каждый узел с примыкающих к нему стержней, а также иные условия равновесия рамы.

Заметим, что в методе сил эти условия выполняются в каждой единичной эпюре и поэтому не обеспечивают проверку решения канонических уравнений.

 

8.4. Стандартные задачи метода перемещений в расчетах на прочность

 

В п. 8.2 было отмечено, что основная система метода перемещений представляет собой совокупность стандартных стержней (см. рис. 8.7), которые на различного рода воздействия могут быть рассчитаны любым, известным читателю, методом, в частности, методом сил.

В первую очередь рассмотрим кинематическое воздействие на стандартные стержни – повороты угловых и смещения линейных связей. Рассмотрим решение одной из таких задач методом сил.

В стержне с постоянной изгибной жесткостью поперечного сечения (EJ = const) левая линейная связь получила вертикальное перемещение вверх на величину, равную Δ (рис. 8.12,а).

Используем основную систему метода сил, показанную на рис. 8.12,б. Усилие в лишней связи X₁ определим из условия:

 

δ₁₁X₁ + Δ_1C = 0. (8.7)

(рис. 8.12,в);

(рис. 8.12,в).

 

Решив уравнение 8.7, получим:

где – погонная жесткость стержня.

Окончательную эпюру изгибающих моментов (рис. 8.12,г) получим, используя соотношение

М = M₁ X₁.

Если смещение правой и левой вертикальных связей происходит так, как показано на рис. 8.12,д, то вид эпюры изгибающих моментов от этих кинематических воздействий остается прежним (рис. 8.12,г).

Результаты расчета стандартных стержней на другие кинематические воздействия в окончательном виде приведены на рис. 8.13.

Вторая, более многочисленная, группа задач представлена расчетом стержней на различного рода силовые воздействия. Эпюры изгибающих моментов и реакции опорных связей стандартных стержней для некоторых видов нагрузок приведены в таблицах 8.1, 8.2, 8.3.

Таблица 8.1

	u + u = 1

Таблица 8.2

 

Таблица 8.3

 

При неравномерном нагреве по высоте поперечного сечения балки и при равномерном нагреве по ее длине, изгибающие мо­менты и поперечные силы определяются согласно общеизвестных выражений:

;

.

где - температурный коэффициент линейного расширения; h -высота поперечного сечения; х - независимая переменная 0 £ x £ l; l - длина элемента.

Результаты расчетов эпюры моментов однопролетных стати­чески неопределимых элементах, с различными граничными усло­виями их закрепления, от действия температурных нагружений, обобщены в таблице 8.4.

 

Таблица 8.4

Схема балки и воздействия на нее	Эпюры изгибающих моментов и реакции	Формулы
		;

 

В заключении заметим, что применяя метод перемещений, сле­дует твердо придерживается какого-либо определенного правила знаков. Принять, что углы поворота опорного сечения, а также реактивный момент, действующий на балку со стороны заделки, положительны, если в результате оси поворачиваются по часовой стрелке. Линейное смещение узла принято положительным, если оно совпадает по направлению с положительной реакцией, вызыва­ющей растяжение опорного сечения стержня.

Более подробный перечень стандартных задач, используемых в расчетах стержневых систем методом перемещений, можно найти в учебниках и учебных пособиях по строительной механике и в справочнике проектировщика строительных конструкций.

 

8.5. Определение коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений

 

Коэффициенты при неизвестных r_ij и r_ii и свободные члены R_iF системы канонических уравнений метода перемещений (см. п. 8.3) можно определить, используя эпюры внутренних усилий, полученные в основной системе от смещения наложенных связей на величину, равную единице, и от заданной нагрузки с помощью стандартных задач (см. п. 8.4).

Для определения реакций в наложенных связях от вышеупомянутых воздействий используют статический или кинематический способы.

Статический способ. Реакция в любой наложенной связи в основной системе метода перемещений от единичных кинематических воздействий и от нагрузки определяется из условия равновесия узла или любой части сооружения, содержащих рассматриваемую связь (см. пример в п. 8.7).

Кинематический способ. Используя принцип возможных перемещений, определим коэффициенты при неизвестных r_ij и r_ii.

 

Рис. 8.14

 

Рассмотрим i-е исходное состояние основной системы метода перемещений, в котором i-я наложенная связь получила перемещение на величину, равную единице, и определим реакцию в j-й наложенной связи r_ji от этого перемещения (рис. 8.14,а). За возможные примем перемещения в j-м состоянии основной системы (рис. 8.14,б). Суммарная возможная работа внешних (W_ext,ij) и внутренних (W_int,ij) сил i-го состояния на возможных перемещениях, имеющих место в j-м состоянии, в силу равновесия рассматриваемой системы равна нулю

W_ext,ij+ W_int,ij = 0. (8.8)

 

В соотношении (8.8) возможная работа внешних сил запишется:

W_ext,ij = r_ji · 1. (8.9)

Возможную работу внутренних сил вычислим с учетом только изгибных деформаций

(8.10)

После подстановки выражений (8.9) и (8.10) в зависимость (8.8) получим

(8.11)

Если i-е состояние основной системы будем рассматривать как исходное и как вспомогательное, повторно применяя принцип возможных перемещений, вычислим

(8.12)

Из соотношения (8.12) следует, что главные коэффициенты r_ii системы канонических уравнений всегда положительны. Формула (8.11) по существу подтверждает теорему о взаимности реакций (r_ji = r_ij), так как множители M_ik(s) иM_jk(s) в подынтегральном выражении можно менять местами.

Для определения реакций в наложенных связях от заданной нагрузки R_iF воспользуемся теоремой о взаимности возможных работ состояний F и i, изображенных на рис. 8.15,а,б.

(8.13)

Так как

то, используя равенство (8.13), получим:

(8.14)

где – перемещение в направлении обобщенной силы F от смещения i-й наложенной связи на величину, равную единице в основной системе метода перемещений.

Перемещение определяется по формуле, которую здесь приведем без доказательства:

(8.15)

В соотношении (8.15): – изгибающие моменты в основной системе метода перемещений от смещения i-й наложенной связи на величину, равную единице; – изгибающие моменты в любой статически определимой основной системе метода сил, полученной из рассматриваемой основной системы метода перемещений удалением лишних связей, в том числе обязательно и i-й связи, от единичного обобщенного фактора (рис.8.15,в).

Изгибающие моменты от полного значения обобщенной силы F можно представить в виде

отсюда

(8.16)

Соотношение (8.15) с учетом зависимости (8.16) перепишется:

(8.17)

После подстановки выражения (8.17) в формулу (8.14) окончательно получим

(8.18)

Вычисление коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений с помощью соотношений (8.11), (8.12) и (8.18), как и в методе сил, можно произвести сопряжением соответствующих эпюр внутренних усилий, используя формулу Симпсона или правило Верещагина.

В двадцать второй лекции будет рассмотрено определение коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений в матричной форме.

 

8.6. Определение внутренних усилий в заданном сооружении.

Промежуточные и окончательные проверки правильности расчета

 

На данном этапе расчета стержневых систем методом перемещений мы имеем эпюры изгибающих моментов М₁, М₂,…, М_j, …, M_n, M_F, построенные в основной системе от смещения наложенных связей на величины Z₁ = 1, Z₂ = 1,…, Z_j = 1,…, Z_n = 1 и от заданной нагрузки, а также численные значения угловых и линейных перемещений узлов в заданном сооружении Z₁, Z₂,…, Z_j,…, Z_n,полученные в результате решения системы канонических уравнений (8.6). Окончательную эпюру изгибающих моментов для заданного сооружения получим, используя принцип независимости действия сил:

. (8.19)

Поперечные и продольные силы в сечениях заданной системы вычислим по эпюре изгибающих моментов из условий равновесия отдельных элементов и узлов.

Многоэтапность расчета статически неопределимых сооружений методом перемещений требует проведения проверок достоверности вычисления коэффициентов системы канонических уравнений, правильности решения этой системы уравнений, а также окончательной проверки эпюр внутренних усилий, полученных в результате расчета.

Главные и побочные коэффициенты r_ii и r_ij системы канонических уравнений (8.6) могут быть вычислены двумя способами – статическим (из условия равновесия узлов) и кинематическим (сопряжением соответствующих эпюр изгибающих моментов, построенных в основной системе метода перемещений от единичных кинематических воздействий). Кроме того, правильность вычислений любого побочного коэффициента r_ji может быть подтверждена независимым определением равного ему побочного коэффициента r_ij.

Свободные члены R_iF (грузовые коэффициенты) также могут быть получены статическим и кинематическим способами. При этом, используя соотношение (8.18), необходимо помнить, что грузовая эпюра изгибающих моментов должна быть получена в любой статически определимой основной системе метода сил, выбирая которую необходимо обязательно удалить i-ю наложенную связь.

При необходимости можно произвести универсальную и построчные проверки правильности вычислений коэффициентов при неизвестных системы канонических уравнений (8.6), а также проверку достоверности определения ее свободных членов. Для этого, как и в методе сил, используют суммарную эпюру изгибающих моментов M_S, полученную в основной системе метода перемещений суммированием эпюр изгибающих моментов от единичных кинематических воздействий:

(8.20)

На заключительном этапе производится проверка правильности эпюр внутренних усилий, построенных в заданном статически неопределимом сооружении. Если при решении задачи ошибки отсутствовали, то узлы заданного сооружения и любые его части должны находиться в равновесии. Это следует из того, что в реальном сооружении нет связей, в которых отрицались реакции в основной системе метода перемещений (см. п. 8.3).

Дополнительно для окончательной проверки эпюр внутренних усилий, полученных для заданного сооружения от силового воздействия, можно использовать любую, желательно статически определимую, основную систему метода сил, для которой должны выполняться кинематические условия

(8.21)

В соотношении (8.21): M(s) – изгибающие моменты от внешней нагрузки в заданном сооружении, вычисленные методом перемещений; – изгибающие моменты в основной системе метода сил от единичного усилия, действующего в направлении i-й удаленной связи.

 

8.7. Примеры расчета рамы на силовое воздействие методом перемещений