Z-преобразованиеВ данном разделе приводятся необходимые для дальнейшего рассмотрения сведения о математическом аппарате Z -преобразования. Более подробная информация содержится в [1]. Z -преобразованием (прямым) последовательности называют следующий ряд , (1.22) где – оригинал – вещественная или комплексная последовательность, для которой выполняется условие (1.9); – z - изображение последовательности , результат Z -преобразования. Z -преобразование однозначно связано с последовательностью и справедливо только в области абсолютной сходимости ряда . (1.23) Z- преобразование (1.22) получено на основе известного дискретного преобразования Лапласа в результате замены переменных , (1.24) где p – оператор Лапласа . (1.25) Определим взаимосвязь между комплексными p - и z -плоскостями. Подставляя p (1.25) в (1.24), получаем , (1.26) после чего, раскрывая по формуле Эйлера , имеем вещественную x и мнимую части комплексной переменной z (рис. 1.10): ; (1.27) . (1.28) Комплексная переменная z может быть представлена в двух формах: - алгебраической ; (1.29) - показательной , (1.30) где радиус является модулем, а угол j – аргументом переменной z (1.29): ; (1.31) . (1.32) Рис. 1.10. Комплексные p - и z -плоскости Соответственно, положение произвольной точки на комплексной z -плоскости может указываться: - координатами (x;h) – в декартовой системе координат; - полярными координатами (радиусом r и углом j) – в полярной системе координат. Сопоставляя соотношения (1.26) и (1.30), выразим значения радиуса r и угла j через s и w соответственно: ; (1.33) . (1.34) Равенство (1.34) указывает на то, что угол j точки на комплексной z -плоскости есть не что иное, как нормированная частота (1.8), измеряемая в радианах. В силу периодичности экспоненты угол j (1.34) комплексной переменной z определяется с точностью до слагаемого 2p k, где k – любое целое число: , однако, как правило, по умолчанию речь идет о главном значении аргумента из диапазона .
|