Студопедия — Нормы векторов и матриц
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Нормы векторов и матриц






Вычислительные методы линейной алгебры

Вычислительные методы линейной алгебры изучают численные методы решения следующих задач:

1) Решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

2) Вычислить определитель квадратной матрицы A.

3) Для данной квадратной матрицы A найти обратную A –1.

4) Определить собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы A.

Нормы векторов и матриц

Приведем определения норм векторов и матриц [1]. Пусть задан вектор x = (x 1, x 2, …, xn) T. Наиболее часто для векторов используются следующие нормы:

 

(3.1)

(3.2)

(3.3)

 

Норма (3.3) порождена скалярным произведением векторов

 

.

 

Для скалярного произведения справедливы следующие соотношения:

 

.

 

Если A симметричная матрица, то (A x, y) = (x, A y).

Определение 3.1. Нормой матрицы A называется число

 

. (3.4)

 

Согласованные с нормами векторов (3.1) — (3.3) нормы матриц определяются формулами

 

(3.5)

(3.6)

(3.7)

 

Здесь — собственные значения матрицы ATA, которая является симметричной. Чтобы обосновать формулу (3.7) рассмотрим определение нормы матрицы (3.4):

 

 

Можно доказать [1], что для симметричной матрицы B верно соотношение

, (3.8)

 

где λ i — собственные значения матрицы B. Отсюда следует формула (3.7).

Пример 3.1. Вычислить нормы || x ||1, || x ||2, || x ||3 вектора x = (1, 2, – 3)T.

Решение. Пользуясь определениями норм (3.1) — (3.3), вычислим

 

Пример 3.2. Вычислить нормы || A ||1, || A ||2, || A ||3 матрицы

 

 

Решение. По формулам (3.5), (3.6) находим нормы матриц

 

 

Чтобы вычислить норму матрицы по формуле (3.7) необходимо найти собственные значения матрицы, полученной умножением транспонированной матрицы AT на данную матрицу A:

 

.

 

Не вдаваясь пока в подробности методов вычисления собственных значений матриц, вычислим в программе Mathcad собственные значения матрицы с помощью функции eigenvals:

 

 

 

Теперь мы можем вычислить норму матрицы по формуле (3.7):

 

 

Определение 3.2. Две нормы || x ||α и || x ||β называются эквивалентными, если существуют постоянные γ1 и γ2 такие, что при всех x ≠ 0 справедливы соотношения

|| x ||α/|| x ||β ≤ γ1, || x ||β /|| x ||α ≤ γ2.

 

Нормы || x ||1, || x ||2, || x ||3 эквивалентны между собой, так как выполняются неравенства [1]

|| x ||1 ≤ || x ||3 ≤ || x ||2n || x ||1.

 

Из эквивалентности норм || x ||1, || x ||2, || x ||3 следует, что, если последовательность векторов сходится по одной из этих норм, то она сходится и по остальным нормам.

Ниже мы будем подразумевать под нормой || x || одну из указанных норм, а при необходимости конкретизировать, какую именно. При этом будем под нормой матрицы подразумевать норму, согласованную с нормой вектора.







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 1418. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Закон Гука при растяжении и сжатии   Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука в 1678 году...

Характерные черты официально-делового стиля Наиболее характерными чертами официально-делового стиля являются: • лаконичность...

Этапы и алгоритм решения педагогической задачи Технология решения педагогической задачи, так же как и любая другая педагогическая технология должна соответствовать критериям концептуальности, системности, эффективности и воспроизводимости...

Билет №7 (1 вопрос) Язык как средство общения и форма существования национальной культуры. Русский литературный язык как нормированная и обработанная форма общенародного языка Важнейшая функция языка - коммуникативная функция, т.е. функция общения Язык представлен в двух своих разновидностях...

Патристика и схоластика как этап в средневековой философии Основной задачей теологии является толкование Священного писания, доказательство существования Бога и формулировка догматов Церкви...

Основные симптомы при заболеваниях органов кровообращения При болезнях органов кровообращения больные могут предъявлять различные жалобы: боли в области сердца и за грудиной, одышка, сердцебиение, перебои в сердце, удушье, отеки, цианоз головная боль, увеличение печени, слабость...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.027 сек.) русская версия | украинская версия