Студопедия — Метод LUP-разложения
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод LUP-разложения






Лабораторная работа №2

Цель работы:

· Знакомство с алгоритмом LUP-разложения матрицы коэффициентов;

· Применение метода LUP-разложения к решению систем линейных уравнений;

· Использование возможностей системы MATHCAD для выполнения LUP-разложения.

Постановка задачи:

Найти решение системы линейных уравнений с помощью метода LUP-разложения, где

– невырожденная матрица коэффициентов размера ,

, – столбец неизвестных и столбец свободных членов соответственно.

Описание метода:

Метод LUP-разложения – это LU-разложение с выбором главного (ведущего) элемента. В этом методе ищутся три матрицы: P, L, U, где L – нижняя треугольная матрица с единицами на диагонали, U – верхняя треугольная матрица, P – матрица перестановок.

Определение. Матрицей перестановок называется матрица, у которой в каждом столбце и в каждой строке один элемент равен единице, остальные – нули.

Если в матрице перестановок P в строке с номером i единица стоит в столбце с номером j, то в матрице строкой с номером i будет строка с номером j матрицы А, а в матрице столбцом с номером j будет служить столбец с номером i матрицы А. Поэтому умножение на матрицу перестановок не требует выполнения арифметических операций. Кроме того матрица перестановок является ортогональной матрицей. Произведение двух матриц перестановок дает снова матрицу перестановок.

В основном метод LUP-разложения совпадает с LU-разложением.

Пусть к шагу с номером j, , построена матрица , имеющая вид

,

матрицы , имеющие вид

,

и матрицы перестановок , такие, что

,

если j= 1, то считаем . Среди элементов столбца с номером j матрицы , стоящих не выше диагонали, находим главный элемент, т.е. наибольший по модулю. Пусть это будет элемент с номером при . Пусть – матрица перестановок, отличающаяся от единичной только j -ой и k -ой строками, причем . Положим . Матрица получается из матрицы перестановкой строк с номерами j и k. В матрице элемент будет наибольшим по модулю среди элементов столбца с номером j, стоящих ниже. Если , то матрица А – вырожденная и решение системы невозможно.

Далее находим матрицу , у которой

, где .

В результате умножения получим нули в столбце с номером j столбце, ниже диагонали. Обозначим

.

Тогда в силу

.

Положим

,

.

Легко проверить, что матрицы и получаются из матриц перестановкой элементов в строках с номерами j и k ниже диагонали. Очевидно, что . Поэтому

,

и т.д. В результате получим

.

Пусть Тогда

,

требуемый вид получен. Шаг с номером j завершен.

После выполнения шага получаем

.

Произведение является нижней треугольной матрицей с единицами на диагонали. Обозначим обратную матрицу к этому произведению через , она тоже будет нижней треугольной с единицами на диагонали. Если положим , , то получим требуемое разложение .

Чтобы применить полученное разложение к решению системы уравнений , умножим обе части равенства слева на матрицу . Получим . Используя разложение, имеем и далее решаем треугольные системы уравнений , . Метод LU-разложения с выбором главного элемента в точной арифметике позволяет решить любую систему уравнений с невырожденной матрицей. Точная арифметика подразумевает, что вычисления ведутся без округления, а конечная, что вычисления ведутся в десятичных дробях с округлением до какого-то знака. Компьютер считает всегда в конечной арифметике.

К недостаткам метода следует отнести возможность возникновения очень больших элементов в матрицах и по сравнению с элементам матрицы . Но этот недостаток играет существенную роль только при больших n. Частично проблему неоправданного увеличения элементов матриц можно решить, выбирая главный элемент не только по столбцу, но и по всем элементам матрицы, стоящим на шаге с номером j в строках и столбцах с номерами . В этом случае будет получено разложение , где и - матрицы перестановок. Систему уравнений тогда решаем так:

,

,

,

,

.

Ход лабораторной работы:







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 3212. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Меры безопасности при обращении с оружием и боеприпасами 64. Получение (сдача) оружия и боеприпасов для проведения стрельб осуществляется в установленном порядке[1]. 65. Безопасность при проведении стрельб обеспечивается...

Весы настольные циферблатные Весы настольные циферблатные РН-10Ц13 (рис.3.1) выпускаются с наибольшими пределами взвешивания 2...

Хронометражно-табличная методика определения суточного расхода энергии студента Цель: познакомиться с хронометражно-табличным методом опреде­ления суточного расхода энергии...

Приготовление дезинфицирующего рабочего раствора хлорамина Задача: рассчитать необходимое количество порошка хлорамина для приготовления 5-ти литров 3% раствора...

Дезинфекция предметов ухода, инструментов однократного и многократного использования   Дезинфекция изделий медицинского назначения проводится с целью уничтожения патогенных и условно-патогенных микроорганизмов - вирусов (в т...

Машины и механизмы для нарезки овощей В зависимости от назначения овощерезательные машины подразделяются на две группы: машины для нарезки сырых и вареных овощей...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия