Глава 5. Принцип Дирихле.

№32. Условие: в прямоугольнике со сторонами 4 и 5 дано пять точек, расстояние от двух из которых до одной из вершин прямоугольника больше 5.

Доказать: среди них найдётся четвёрка точек, для которых выпуклый четырёхугольник, построенный путём их соединения, имеет площадь меньше 14.

№33. Дан крест-двенадцатиугольник ABCDEFGHIJKL с прямыми углами A, B, D, E, G, J, K и остальными углами, равными 270 градусам, и с длинами сторон AB=CD=DE=EF=FG=GH=HI=IJ=JK=KL=1 и BC=AL=3. Доказать, что среди трёх точек внутри такого креста найдётся две, расстояние между которыми меньше 3.

№34. Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Каков должен быть угол B,чтобы среди не менее чем: а) двух; б)пяти; в)шести любых точек внутри треугольника нашлось две, расстояние между которыми меньше AC?

№32. Обозначим прямоугольник ABCD со сторонами AB=4 и BC=5. На сторонах BC и AD отметим точки E и F соответственно, так что BE=2=DF. Заметим, что отрезок BF делит прямоугольник на области с площадями 6 и 14, аналогичным свойством обладает и отрезок DE. Так как 5-4 равняется 1, то или все 5 образуют элементы пятиугольника, площадь которого менбше 14, или хотя бы одна не принадлежит этой области, и тогда всё равно остаётся 4 точки, образующие вершины четырёхугольника, площадь которого меньше 14.

№33. Разделим крест на верхний конец, перекладину и нижний конец. Ясно, что из двух точек, не лежащих одновременно ни в нижнем конце, ни в перекладине, одна может лежать в верхнеи конце. Две остальные тогда или лежат в верхнем конце, или одна лежит в перекладине или нижнем конце, а две остаются в верхнем конце.

№34. Ответы: а) тупой угол; б)меньший 120 градусов; в) больший 120 градусов.