Студопедия — Работа 3. Этюды на прямоугольник и трапецию.
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Работа 3. Этюды на прямоугольник и трапецию.






 

№1. Условие: в прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке E, вокруг него описана окружность, BC>AB, на дуге BC взята точка E, из неё опущены перпендикуляры на диагонали AC и BD- FG и FH соответственно. На HG взята точка I, такая, что GI=GF. Отрезок BI продолжен до пересечения с отрезком CE в точке K.

Доказать: четырёхугольник EBFK- вписанный.

№2. Классическая задача с трапецией.

Условие: в трапеции ABCD проведены диагонали AC и BD, пересекающиеся в точке K; на диагонали AC взята её середина F, серединный перпендикуляр в ней к AC пересекает сторону AD в точке F; отрезок CF пересекает диагональ BD в точке G.

Доказать: KG*GF<GD*(DF+CG).

№3. Классическая задача с трапецией.

Условие: пусть в трапецию ABCD можно вписать окружность и точки касания её со сторонами AB и CD- K и L соответственно, а с основаниями BC и AD- N и M соответственно. Отрезки AN и BM пересекаются в точке Q, отрезки DN и CM пересекаются в точке P. Известно, что KQ=PL.

Доказать, что трапеция ABCD- равнобедренная.

Лемма: отрезки BI и FI перпендикулярны.

___________________________________________________________________

 

№1. Продолжим отрезки FG и FH до пересечения с окружностью в точках F_1 и F_2 соответственно.

Тогда так как FG=GF_1 и FH=HF_2, то GH- средняя линия треугольника F_1FF_2, и GH||F_1F_2. Тогда углы F_1F_2F и FHG равны. Углы F_1CF и F_1F_2F равны, следовательно углы F_1CF и GHF равны. Обозначим пересечение BF_1 и CH как I’. Тогда по теореме о вписанном угле угол BI’F-прямой. Но так как FG=GF_1, то I’G- медиана, выходящая из вершины прямого угла, поэтому I’G=FG. Следовательно, I’=I, доказано.

Так как KIFG и EHFG- вписанные, углы EGK и IEK равны, аналогично углы HFE и HGE(IGK) равны. Тогда равны углы HFI и EFK; по теореме о вписанном угле, равны углы HBI(EBK) и HFI. Тогда равны углы EBK и EFK.

Второй вариант: через прямую Симсона. Это всего один шаг!

Второе доказательство леммы совсем другое: угол FHB равен ½ угла BEF равен ½ угла HGF по свойствам равнобедренного треугольника (BEF) и теореме о вписанном угле. Тогда угол BIH равен ½ угла IGF, но биссектриса угла IGF является высотой в равнобедренном треугольнике IGF, следовательно она параллельна отрезку BG и по свойству параллельности отрезки BI и FI перпендикулярны. Было придумано 2 февраля 2012.

 

№2.

Так как CA- биссектриса угла BCF (это следует из признака параллельности и свойства равнобедренного треугольника), BK/BC=KG/CG (по свойству биссектрисы треугольника). BG/CG=GD/GF. Но BG>KG => BK/BC<GD/GF. BK/BC=KD/AD, KD=KG+GD, AD=CG+GF+DF. =>(KG+GD)/(CG+GF+DF)<GD/DF=> После уничтожения подобных слагаемых, KG*GF<GD(DF+CG), ч.т.д.

№3.

NC/PL=CD/LD и BN/KQ=AB/AK => Т.к. KQ=PL, то LD*NC/CD=AK*BN/AB. Из задачи 1.21 сборника Прасолова известно, что BK*AK=CL*LD, но, по теореме о касательной, BN=BK и CN=CL, поэтому AK*BK/CD=AK*BN/AB, откуда AB=CD, ч.т.д.

 







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 348. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Ведение учета результатов боевой подготовки в роте и во взводе Содержание журнала учета боевой подготовки во взводе. Учет результатов боевой подготовки - есть отражение количественных и качественных показателей выполнения планов подготовки соединений...

Сравнительно-исторический метод в языкознании сравнительно-исторический метод в языкознании является одним из основных и представляет собой совокупность приёмов...

Концептуальные модели труда учителя В отечественной литературе существует несколько подходов к пониманию профессиональной деятельности учителя, которые, дополняя друг друга, расширяют психологическое представление об эффективности профессионального труда учителя...

СИНТАКСИЧЕСКАЯ РАБОТА В СИСТЕМЕ РАЗВИТИЯ РЕЧИ УЧАЩИХСЯ В языке различаются уровни — уровень слова (лексический), уровень словосочетания и предложения (синтаксический) и уровень Словосочетание в этом смысле может рассматриваться как переходное звено от лексического уровня к синтаксическому...

Плейотропное действие генов. Примеры. Плейотропное действие генов - это зависимость нескольких признаков от одного гена, то есть множественное действие одного гена...

Методика обучения письму и письменной речи на иностранном языке в средней школе. Различают письмо и письменную речь. Письмо – объект овладения графической и орфографической системами иностранного языка для фиксации языкового и речевого материала...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия