Контрольная работа. «Основы теории эксперимента»

по дисциплине

«Основы теории эксперимента»

 

 

Работу выполнила студентка: Андреева А.Ф., гр. 9541

Проверил: Кричевский С.В.

 

 

Заочное отделение

 

Самара 2014

1. Предположим, что в электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов 1-го, 2-го и 3-го элементов соответственно равны P₁ = 0,1, P₂ = 0,15, P₃ = 0,2. Будем считать цепь надежной, если вероятность того, что в цепи не будет тока, не более 0,4. Требуется определить, является ли данная цепь надежной.

Так как элементы включены последовательно, то тока в цепи не будет (событие A), если откажет хотя бы один из элементов. Пусть A_i — событие, заключающееся в том, что i-й элемент работает (i = 1, 2, 3). Тогда P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Очевидно, что A₁A₂A₃ — событие, заключающееся в том, что одновременно работают все три элемента, и

P(A₁A₂A₃) = P(A₁)•P(A₂)•P(A₃) = 0,612.

Тогда P(A) + P(A₁A₂A₃) = 1, поэтому P(A) = 0,388 < 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

 

 

2. Рассмотрим несколько химических соединений, называемых нормальными алканами. Они состоят из n атомов углерода и n + 2 атомов водорода (n = 1, 2...), связанных между собой так, как показано на рисунке 3 для n = 3. Пусть известны экспериментальные значения температур кипения этих соединений:

y_э(3) = – 42°, y_э(4) = 0°, y_э(5) = 28°, y_э(6) = 69°.

Требуется найти приближенную зависимость между температурой кипения и числом n для этих соединений. Предположим, что эта зависимость имеет вид

y» a n + b,

где a, b — константы, подлежащие определению. Для нахождения a и b подставим в эту формулу последовательно n = 3, 4, 5, 6 и соответствующие значения температур кипения. Имеем:

– 42» 3 a + b, 0» 4 a + b, 28» 5 a + b, 69» 6 a + b.

Для определения наилучших a и b существует много разных методов. Воспользуемся наиболее простым из них. Выразим b через a из этих уравнений:

b» – 42 – 3 a, b» – 4 a, b» 28 – 5 a, b» 69 – 6 a.

Возьмем в качестве искомого b среднее арифметическое этих значений, то есть положим b» 16 – 4,5 a. Подставим в исходную систему уравнений это значение b и, вычисляя a, получим для a следующие значения: a»37, a»28, a»28, a»36. Возьмем в качестве искомого a среднее значение этих чисел, то есть положим a»34. Итак, искомое уравнение имеет вид

y» 34n – 139.

Проверим точность модели на исходных четырех соединениях, для чего вычислим температуры кипения по полученной формуле:

y_р(3) = – 37°, y_р(4) = – 3°, y_р(5) = 31°, y_р(6) = 65°.

Таким образом, ошибка расчетов данного свойства для этих соединений не превышает 5°. Используем полученное уравнение для расчета температуры кипения соединения с n = 7, не входящего в исходное множество, для чего подставим в это уравнение n = 7: y_р(7) = 99°. Результат получился довольно точный: известно, что экспериментальное значение температуры кипения y_э(7) = 98°.

 

3. Коммивояжеру, живущему в городе A₁, надо посетить города A₂, A₃ и A₄, причем каждый город точно один раз, и затем вернуться обратно в A₁. Известно, что все города попарно соединены между собой дорогами, причем длины дорог b_ij между городами A_i и A_j (i, j = 1, 2, 3, 4) таковы:

b₁₂ = 30, b₁₄ = 20, b₂₃ = 50, b₂₄ = 40, b₁₃ = 70, b₃₄ = 60.

Надо определить порядок посещения городов, при котором длина соответствующего пути минимальна.

Изобразим каждый город точкой на плоскости и пометим ее соответствующей меткой Ai (i = 1, 2, 3, 4). Соединим эти точки отрезками прямых: они будут изображать дороги между городами. Для каждой «дороги» укажем ее протяженность в километрах (рис. 2). Получился граф — математический объект, состоящий из некоторого множества точек на плоскости (называемых вершинами) и некоторого множества линий, соединяющих эти точки (называемых ребрами). Более того, этот граф меченый, так как его вершинам и ребрам приписаны некоторые метки — числа (ребрам) или символы (вершинам). Циклом на графе называется последовательность вершин V₁, V₂,..., V_k, V₁ такая, что вершины V₁,..., V_k — различны, а любая пара вершин V_i, V_i+1 (i = 1,..., k – 1) и пара V₁, V_k соединены ребром. Таким образом, рассматриваемая задача заключается в отыскании такого цикла на графе, проходящего через все четыре вершины, для которого сумма всех весов ребер минимальна. Найдем перебором все различные циклы, проходящие через четыре вершины и начинающиеся в A₁:

1) A₁, A₄, A₃, A₂, A₁;
2) A₁, A₃, A₂, A₄, A₁;
3) A₁, A₃, A₄, A₂, A₁.

Найдем теперь длины этих циклов (в км): L₁ = 160, L₂ = 180, L₃ = 200. Итак, маршрут наименьшей длины — это первый.

Заметим, что если в графе n вершин и все вершины попарно соединены между собой ребрами (такой граф называется полным), то число циклов, проходящих через все вершины, равно Следовательно, в нашем случае имеется ровно три цикла.

 

 

4. В двух группах учащихся — экспериментальной и контрольной — получены следующие результаты по учеб­ному предмету (тестовые баллы; см. табл. 1).[1]

Таблица 1. Результаты эксперимента

Первая группа (экспериментальная) N1=11 человек	Вторая группа (контрольная) N2=9 человек
12 14 13 16 11 9 13 15 15 18 14	13 9 11 10 7 6 8 10 11

Общее количество членов выборки: n₁=11, n₂=9.

Расчет средних арифметических: Х_ср=13,636; Y_ср=9,444

Стандартное отклонение: s_x=2,460; s_y=2,186

По формуле (2) рассчитываем стандартную ошибку разности арифметических средних:

Считаем статистику критерия:

Сравниваем полученное в эксперименте значение t с табличным значением с учетом степеней свободы, равных по формуле (4) числу испытуемых минус два (18).

Табличное значение t_крит равняется 2,1 при допущении возможности риска сделать ошибочное сужде­ние в пяти случаях из ста (уровень значимости=5 % или 0,05).

Если полученное в эксперименте эмпирическое значение t превы­шает табличное, то есть основания принять альтернативную гипотезу (H₁) о том, что учащиеся экспериментальной группы показывают в среднем более высокий уровень знаний. В эксперименте t=3,981, табличное t=2,10, 3,981>2,10, откуда следует вывод о преимуществе эксперимен­тального обучения.

 

 

5. Сформулируем нуль-гипотезу Н ₀: М_x=М_э, т.е. математическое ожидание по выборке М_x равно математическому ожиданию эталона М_э.

Решение осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента. Для этого рассчитывается экспериментальное (эмпирическое) значение этого критерия по выражению

(3.26)

В дальнейшем определяется теоретическое значение этого критерия при заданном уровне значимости a и числе степеней свободы m=n-1. Для этого опять же можно воспользоваться таблицами из статистических справочников или пакетами прикладных программ для ЭВМ. Характеристики отдельных таких программ, их возможности мы будем изучать в дальнейшем (см. главу 7), а навыки их использования осваивать на практических занятиях.

Если t_эксп³t_a,m, то нуль гипотеза отвергается. Физически это означает, что не покрывается доверительным интервалом M_x с вероятностью Р=1-a.

Таким образом, алгоритм решения задачи следующий:

1. По выборочным данным объема выборки находятся S_x².

2. Рассчитывается эмпирическое значение критерия Стьюдента t_эксп по выражению (3.26).

3. При a=0,05 и m=n-1 определяется теоретическое значение критерия t_a,m.

4. Если ½t_эксп½³t_a,m, то гипотеза не принимается.

6. При проверке Рh-метра с помощью эталонного раствора, имеющего Рh=9,0, получили следующие результаты: 8,7; 9,2; 9,1; 9,0; 9,4; 9,6; 9,7; 8,9; 8,8; 8,7; 9,8; 9,3; 9,8; 8,8, т.е. n=14. Обладает ли Рh-метр систематической погрешностью?

Решение задачи. Предварительно рассчитаем среднеарифметическое и выборочное среднеарифметическое отклонение S_x

В дальнейшем рассчитывается эмпирическое значение критерия

и определяется табличное значение критерия t_0,05;13=2,16. Так как t_эксп<t_a,m, то с вероятностью 95% можно считать, что имеющееся различие между показаниями Рh-метра и эталонным значением вызвана случайными причинами и в частности ограниченностью числа измерений.

 

7. В процессе проведения исследований из партии бетона, замешанной в понедельник, взято восемь проб (n₁=8) и они подвергнуты испытаниям на сжатие. Получены следующие данные прочности на сжатие, x_i⁽¹⁾, кг/см²: 305,6; 270,8; 298,0; 218,6; 273,3; 270,8; 219,4; 265,8.

Из партии бетона, замешанной в среду, имелась возможность взять 17 проб (n₂=17) и после испытаний получены следующие результаты, x_i⁽²⁾, кг/см²: 298,0; 263,4; 288,2; 300,7; 327,9; 303,1; 278,2; 296,0;316,3; 290,7; 318,0; 270,0; 305,6; 320,5; 293,2; 285,5; 316,3. Утверждается, что состав бетона и методика испытаний не изменялись. Выборки 1 и 2 независимы и не взаимосвязаны.

1. Определяются среднеарифметические значения параметра и оценки их дисперсий по каждой из выборок:

=265,3; =298,3; =1015,1; =329,1.

2. Определяется средневзвешенная дисперсия (суммарная, выборочная дисперсия) :

(3.28)

3. Проверяется нуль-гипотеза "Математические ожидания первой и второй выборок одинаковы". Н₀: M_x⁽¹⁾= M_x⁽²⁾.

4. Рассчитывается эмпирическое значение критерия Стьюдента

(3.29)

4.Число степеней свободы определятся по выражению

m_S = n₁ + n₂ - 2 = 23 (3.30)

и определяется теоретическое значений критерия Стьюдента t_0,05;23=2,07 (по статистической справочной таблице или с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР из электронных таблиц Microsoft Excel).

5. Так как t_эксп>t_a,m, то с вероятность 95% гипотеза не принимается.

Таким образом, справедливость гипотезы, согласно которой обе партии бетона и методика исследования одинаковы по их средним значениям на сжатие, весьма сомнительна (с вероятностью 95%).

 

8. В серии из десяти измерений (n=10) было получено =5,4×10^-3 мм². Требуется определить, в каком интервале находится фактическое значение дисперсии s.

При Р=0,9, m=n-1=9, поэтому на основе (3.24) и (3.25) имеем

Значения c₁² с надежностью a₁=(1-Р)/2=0,05 и c₂² с надежностью a₂=(1+Р)/2=0,95 табулированы и получены нами с помощью статистической функции ХИ2ОБР из электронных таблиц Microsoft Excel. Следовательно, 0,532×5,4×10^-3£s£2,707×5,4×10^-3 или 2,87×10^-3£s£1,46×10^-2. Аналогично для Р=0,95 получаем 2,55×10^-3£s£1,80×10^-2.

 

9. При обработке 17 пар данных x и y получены следующие значения n=17; Выборочный коэффициент корреляции r_xy=-0,94, т.е. величина y связана с x достаточно сильной причинной связью, близкой к функциональной зависимости.

Определение значимости коэффициента r_xy.

;

t_0,05;15=1,75.

Так как t_эксп>t_a;n-2, то коэффициент корреляции существенен.

Определение доверительного интервала. По формулам (4.22) и (4.23) определим величину Z*

и ее среднеквадратичное отклонение

Зададимся вероятностью того, что истинное значение Z отличается от вычисленного на основании оценки коэффициента корреляции Z* не более, чем на d_Z. Учитывая нормальный закон распределения Z, имеем при вероятности

95%: d_Z=1,96×S_Z=1,96×0,267=0,523;

90%: d_Z=1,67×0,267=0,446;

99,7%: d_Z=3,00×0,267=0,801.

Таким образом, истинное значение Z с вероятностью, например 95%, лежит в пределах Z₁£Z£Z₂, где Z₁=1,738-0,523=1,215 и Z₂=1,738+0,523=2,261.

Этим двум значениям Z соответствуют коэффициенты корреляции, полученные из формулы (4.22) -0,84£r_xy£-0,98. Следовательно, доверительные интервалы подтверждают достаточно сильную причинную связь между анализируемыми параметрами.

Таким образом, корреляционный анализ устанавливает связь между исследуемыми случайными переменными и оценивает тесноту этой связи

10. Эстонский исследователь Я. Микк [1], изучая трудности по­нимания текста, установил «формулу читаемости», которая представляет собой множественную линейную регрессию:

— оценка трудности понимания текста,

где х₁ - длина самостоятельных предложений в количестве печат­ных знаков,

х₂ - процент различных незнакомых слов,

х₃ - абстрактность повторяющихся понятий, выраженных существительными.

Сравнивая между собой коэффициенты регрессии, выражающие степень влияния факторов, можно видеть, что трудность понимания текста опреде­ляется прежде всего его абстрактностью. Вдвое мень­ше (0,27) трудность понимания текста зависит от числа незнакомых слов и практически она совсем не зависит от длины предложении.

11. Предположим, что математическое ожидание содержания кремния в чугуне равно M_Si=0,6%, а среднеквадратичное отклонение s_Si=0,15%. В этом случае, мы можем быть уверены в том, что величина измеренного содержания кремния в чугуне будет находиться в интервалах:

0,6 ± 0,68 ´ 0,15 = 0,6±0,10 с вероятностью 68%;

0,6 ± 1,64 ´ 0,15 = 0,6±0,29 с вероятностью 90%;

0,6 ± 1,96 ´ 0,15 = 0,6±0,29 с вероятностью 95%;

0,6 ± 3,00 ´ 0,15 = 0,6±0,45 с вероятностью 99,7%,

т.е. из 1000 проб только 3 пробы по содержанию кремния в чугуне будут выходить из диапазона от 0,15 до 1,05%.

12. Пирометром измеряется температура поверхности нагретого тела. Будем предполагать, что температура видимой поверхности нагретого тела во всех точках одинакова. Различными исследователями было проведено шесть измерений температуры и получены следующие их значения: Температура, ⁰С: 925, 950, 975, 1000, 1025, 1050 (n=6).

Имеются ли среди этих измерений грубые погрешности? Предварительно вычислим оценки и S:

Для определения S_x использовали (n-1), т.к. истинное значение измеряемой температуры нам не известно. Заметим, что здесь это важно, т.к. сделано мало измерений (всего n=6).

Выберем измерения, имеющие наибольшее отклонение от среднеарифметического значения. Таких значений оказалось два: 925 ⁰C и 1050 ⁰C.

Предварительно вычислим

При a=0,05 и m=n-1=5 определяем t_0,05;5=2,57 (например, с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(0,05;5)=2,57 из электронных таблиц Excel).

Так как t_эксп<t_a,m, то от отсева выделяющихся наблюдений лучше воздержаться.

Попытайтесь самостоятельно оценить, каким должно быть значение измеряемого параметра, чтобы его можно отнести к грубой погрешности при доверительной вероятности 0,997.

Заметим дополнительно, что если бы число наблюдений было достаточно большим и было бы известно действительное значение измеряемой температуры, при условии нормального закона распределения t*_0,05=1,96, что соответствует теоретическому значению при доверительной вероятности равной 0,95. В нашем случае табличное значение t_эксп=2,57 было существенно выше 1,96, т.к. оно учитывало ограниченность экспериментальных данных.

13. Было отобрано 16 проб одного и того же чугуна, в которых определено содержание кремния. В дальнейшем рассчитали =0,65% и S_x=0,11%. Теоретическое значение критерия Стьюдента составило t_0,05;15=2,13. Тогда

Таким образом, с вероятностью 95% можно утверждать, что математическое ожидание (среднее значение) содержания кремния в чугуне лежит в диапазоне 0,59%£M_Si£0,71%.

 

14. В серии из десяти измерений (n=10) было получено =5,4×10^-3 мм². Требуется определить, в каком интервале находится фактическое значение дисперсии s.

При Р=0,9, m=n-1=9, поэтому имеем

Значения c₁² с надежностью a₁=(1-Р)/2=0,05 и c₂² с надежностью a₂=(1+Р)/2=0,95 табулированы и получены нами с помощью статистической функции ХИ2ОБР из электронных таблиц Microsoft Excel. Следовательно, 0,532×5,4×10^-3£s£2,707×5,4×10^-3 или 2,87×10^-3£s£1,46×10^-2. Аналогично для Р=0,95 получаем 2,55×10^-3£s£1,80×10^-2.

15. При проверке Рh-метра с помощью эталонного раствора, имеющего Рh=9,0, получили следующие результаты: 8,7; 9,2; 9,1; 9,0; 9,4; 9,6; 9,7; 8,9; 8,8; 8,7; 9,8; 9,3; 9,8; 8,8, т.е. n=14. Обладает ли Рh-метр систематической погрешностью?

Решение задачи. Предварительно рассчитаем среднеарифметическое и выборочное среднеарифметическое отклонение S_x

В дальнейшем рассчитывается эмпирическое значение критерия

и определяется табличное значение критерия t_0,05;13=2,16. Так как t_эксп<t_a,m, то с вероятностью 95% можно считать, что имеющееся различие между показаниями Рh-метра и эталонным значением вызвана случайными причинами и в частности ограниченностью числа измерений.

16. В процессе проведения исследований из партии бетона, замешанной в понедельник, взято восемь проб (n₁=8) и они подвергнуты испытаниям на сжатие. Получены следующие данные прочности на сжатие, x_i⁽¹⁾, кг/см²: 305,6; 270,8; 298,0; 218,6; 273,3; 270,8; 219,4; 265,8.

Из партии бетона, замешанной в среду, имелась возможность взять 17 проб (n₂=17) и после испытаний получены следующие результаты, x_i⁽²⁾, кг/см²: 298,0; 263,4; 288,2; 300,7; 327,9; 303,1; 278,2; 296,0;316,3; 290,7; 318,0; 270,0; 305,6; 320,5; 293,2; 285,5; 316,3. Утверждается, что состав бетона и методика испытаний не изменялись. Выборки 1 и 2 независимы и не взаимосвязаны.

1. Определяются среднеарифметические значения параметра и оценки их дисперсий по каждой из выборок:

=265,3; =298,3; =1015,1; =329,1.

2. Определяется средневзвешенная дисперсия (суммарная, выборочная дисперсия) :

3. Проверяется нуль-гипотеза "Математические ожидания первой и второй выборок одинаковы". Н₀: M_x⁽¹⁾= M_x⁽²⁾.

4. Рассчитывается эмпирическое значение критерия Стьюдента

4.Число степеней свободы определятся по выражению

m_S = n₁ + n₂ - 2 = 23

и определяется теоретическое значений критерия Стьюдента t_0,05;23=2,07 (по статистической справочной таблице или с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР из электронных таблиц Microsoft Excel).

5. Так как t_эксп>t_a,m, то с вероятность 95% гипотеза не принимается.

Таким образом, справедливость гипотезы, согласно которой обе партии бетона и методика исследования одинаковы по их средним значениям на сжатие, весьма сомнительна (с вероятностью 95%).

17. Пусть измеряем одну и ту же величину (температуру, давление, состав газа и т.п.). Старым измерительным прибором проведено 200 измерений, которые дали выборочную дисперсию S_x²⁽¹⁾=3,82, а вторым (новым) выполнено 15 измерений при выборочной дисперсии S_x²⁽²⁾=2,00. Можно ли считать, что новый прибор по разбросу показаний дает существенно лучшую точность, чем старый?

Выдвигается гипотеза о равенстве дисперсий. Н₀: s _x²⁽¹⁾=s _x²⁽²⁾. Альтернативная ей гипотеза Н₁: s_x²⁽¹⁾>s _x²⁽²⁾. Далее определяем:

F_эксп=3,82/2,00=1,91; m₁=199; m₂=14; F_0,05;199;14=2,16; F_эксп<F_теор.

Таким образом, с вероятностью 95% нет оснований считать, что результаты измерений нового прибора лучше старого.

18. При обработке 17 пар данных x и y получены следующие значения n=17; Выборочный коэффициент корреляции r_xy=-0,94, т.е. величина y связана с x достаточно сильной причинной связью, близкой к функциональной зависимости.

Определение значимости коэффициента r_xy.

;

t_0,05;15=1,75.

Так как t_эксп>t_a;n-2, то коэффициент корреляции существенен.

Определение доверительного интервала. По формулам (4.22) и (4.23) определим величину Z*

и ее среднеквадратичное отклонение

Зададимся вероятностью того, что истинное значение Z отличается от вычисленного на основании оценки коэффициента корреляции Z* не более, чем на d_Z. Учитывая нормальный закон распределения Z, имеем при вероятности

95%: d_Z=1,96×S_Z=1,96×0,267=0,523;

90%: d_Z=1,67×0,267=0,446;

99,7%: d_Z=3,00×0,267=0,801.

Таким образом, истинное значение Z с вероятностью, например 95%, лежит в пределах Z₁£Z£Z₂, где Z₁=1,738-0,523=1,215 и Z₂=1,738+0,523=2,261.

Этим двум значениям Z соответствуют коэффициенты корреляции, полученные из формулы (4.22) -0,84£r_xy£-0,98. Следовательно, доверительные интервалы подтверждают достаточно сильную причинную связь между анализируемыми параметрами.

19. Пусть требуется определить объем цилиндра диаметром d=20 мм и высотой h=50 мм с относительной погрешностью D_V^*=0,01, соответствующей доверительной вероятностью P=0,95. Найдем погрешности измерения величины d и h, соответствующие этому же значению доверительной вероятности, при которых исходная задача будет разрешена. Учитывая, что объем цилиндра равен и приняв закон распределения нормальным, с помощью соотношения (5.16) найдем