Плоскость

Вектором нормали к плоскости называется вектор, перпендикулярный к этой плоскости. Уравнение плоскости по точке и заданному вектору нормали (рис. 12)

 

 

Рис. 12

 

имеет вид:

 

(3.5)

 

Это линейное уравнение относительно переменных . Верно и обратное: всякое линейное уравнение

 

(3.6)

 

выражает плоскость, причем коэффициенты при переменных являются координатами вектора нормали этой плоскости. Данное уравнение называется общим уравнением плоскости.

 

Пример 13. (Образец выполнения задачи 7(b) из контрольной работы). Найти уравнение плоскости, проходящей через точки и .

Решение. Из точки выпустим два вектора и . Тогда в качестве нормали искомой плоскости можно взять векторное произведение векторов и (рис. 13),

Рис. 13

 

т.к. перпендикулярен вектору , вектору , а значит и плоскости, в которой они лежат.

 

,

.

Запишем уравнение искомой плоскости по вектору нормали и, например, точке :

 

.

 

Окончательно, после упрощений, имеем:

 

.

 

Полученный результат следует повторить, подставляя в уравнение координаты точек и :

 

верно

верно

верно. n

 

Пример 14. (Образец выполнения задачи 7(c) из контрольной работы). Найти параметрические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости

.

Решение. Т.к. искомая прямая перпендикулярна к плоскости, то ее направляющий вектор совпадет с вектором нормали плоскости (рис. 14):

 

Рис.14

 

.

 

Осталось лишь записать искомые уравнения прямой, используя формулы (2.4):

 

, .n