Ряды Фурье.Определение. Рядом Фурье функции f(x), определённой и интегрируемой на отрезке , называется ряд (1) коэффициенты которого определяются формулами .
Если ряд (1) является рядом Фурье функции f(x), то пишут . (2)
Если f(x)= f(-x),т.е. f(x) – функция чётная, то и .
Если f(x)=- f(x),т.е. f(x) – функция нечётная, то и . Пример. Разложить в ряд Фурье функцию На рисунке (рис.1) изображён график заданной функции.
Условиям теоремы функция удовлетворяет. Эта функция – нечётная. Следовательно, а . Ряд Фурье содержит только синусы: При этом (рис.2).
Гармоническое колебание (движение) описывается функцией , (3) где - амплитуда колебания, - частота, - начальная фаза, . Основным периодом функции (3) является , т.е. одно полное колебание совершается за промежуток времени ( показывает, сколько колебаний совершает точка в течение единиц времени). Ряд Фурье с периодом 2 l. Теорема. Если функция f(x) и её производная – непрерывны на отрезке (l>0) или же имеют на нём конечное число точек разрыва I-го рода, то во всех точках , в которых f(x) непрерывна, сумма ряда равна f(x) и справедливо разложение (4) где , а в каждой точке разрыва функции сумма ряда равна и на концах отрезка сумма ряда равна . Если функция f(x) с периодом на отрезке удовлетворяет условиям теоремы, то для неё имеет место разложение (1), где коэффициенты вычисляются по формулам .
|